Soit $K$ un corps commutatif. Pour chaque couple d’indices $(i,j)$ tel que $1 \le i \le m$ et $1 \le j \le n$, on définit la matrice élémentaire $E_{ij}$ de $\mathcal{M}_{m,n}(K)$ comme étant la matrice dont tous les coefficients sont nuls, à l’exception de celui situé à la $i$-ème ligne et la $j$-ème colonne, qui est égal à 1.
Remarque
Dans l’algèbre des matrices carrées $\mathcal{M}_n(K)$, le produit de deux matrices élémentaires suit une règle simple. Pour tous indices $(i,j,k,l) \in \{1, \dots, n\}^4$ : $$ E_{ij}E_{kl} = \begin{cases} E_{il} & \text{si } j=k \\ 0 & \text{si } j \neq k \end{cases} $$ En particulier, le carré d’une matrice élémentaire est : $$ E_{ij}^2 = \begin{cases} E_{ii} & \text{si } i=j \\ 0 & \text{si } i \neq j \end{cases} $$
Soit $K$ un corps commutatif. L’ensemble de toutes les matrices élémentaires $\{E_{ij} : 1 \le i \le m, 1 \le j \le n\}$ forme une base de l’espace vectoriel $\mathcal{M}_{m,n}(K)$. Cette base est appelée la base canonique de $\mathcal{M}_{m,n}(K)$.
Démonstration
Pour prouver que cet ensemble est une base, nous devons montrer qu’il est à la fois une partie génératrice et une partie libre.
Partie génératrice : Soit une matrice quelconque $A = (a_{ij})$ dans $\mathcal{M}_{m,n}(K)$. Par définition des opérations matricielles, on peut décomposer $A$ comme une somme pondérée des matrices élémentaires : $$ A = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} E_{ij} $$ Chaque matrice de $\mathcal{M}_{m,n}(K)$ peut donc s’exprimer comme une combinaison linéaire des matrices élémentaires. L’ensemble est donc générateur.
Partie libre : Considérons une combinaison linéaire nulle des matrices élémentaires : $$ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} E_{ij} = 0 $$ Le membre de gauche de cette équation est la matrice dont le coefficient à la position $(i,j)$ est précisément $a_{ij}$. Pour que cette matrice soit la matrice nulle, il faut que tous ses coefficients soient nuls. On a donc $a_{ij}=0$ pour tous les couples $(i,j)$. La seule combinaison linéaire nulle est celle où tous les scalaires sont nuls, ce qui prouve que la famille est libre.