La méthode de Gauss est un algorithme qui permet de décomposer n’importe quelle forme quadratique en une somme ou une différence de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes. Ce processus, également appelé « réduction en carrés », est essentiel pour déterminer le rang et la signature d’une forme quadratique.
Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension $n$ muni d’une base, et $q$ une forme quadratique non nulle sur $E$. L’expression de $q$ en coordonnées est un polynôme homogène de degré 2 : $$ q(x) = \sum_{i=1}^n a_{ii}x_i^2 + 2 \sum_{1 \le i < j \le n} a_{ij}x_i x_j $$ L'algorithme procède par récurrence sur la dimension $n$.
Déroulement de l’Algorithme
On distingue deux cas principaux :
Cas 1 : Il existe au moins un terme carré non nul
Supposons qu’il existe un coefficient $a_{ii} \neq 0$. Sans perte de généralité, supposons que $a_{11} \neq 0$. On regroupe tous les termes contenant la variable $x_1$ et on utilise l’identité remarquable pour « compléter le carré » : $$ q(x) = a_{11} \left( x_1^2 + 2x_1 \sum_{j=2}^n \frac{a_{1j}}{a_{11}}x_j \right) + \dots $$ $$ = a_{11} \left( x_1 + \sum_{j=2}^n \frac{a_{1j}}{a_{11}}x_j \right)^2 – a_{11} \left( \sum_{j=2}^n \frac{a_{1j}}{a_{11}}x_j \right)^2 + \dots $$ L’expression se sépare alors en deux parties : un premier carré d’une forme linéaire $l_1(x)^2$, et une nouvelle forme quadratique $q'(x_2, \dots, x_n)$ qui ne dépend plus que des $n-1$ autres variables. On peut alors appliquer l’hypothèse de récurrence à $q’$.
Cas 2 : Tous les termes carrés sont nuls ($a_{ii}=0$ pour tout i)
Puisque $q$ est non nulle, il existe au moins un terme rectangle $a_{ij}x_i x_j$ avec $a_{ij} \neq 0$. Supposons $a_{12} \neq 0$. On regroupe les termes en $x_1$ et $x_2$ et on utilise l’identité $AB = \frac{1}{4}((A+B)^2 – (A-B)^2)$ : $$ 2a_{12}x_1x_2 + 2x_1\sum_{j=3}^n a_{1j}x_j + 2x_2\sum_{j=3}^n a_{2j}x_j = 2a_{12} \left( x_1 + \frac{1}{a_{12}}\sum_{j=3}^n a_{2j}x_j \right) \left( x_2 + \frac{1}{a_{12}}\sum_{j=3}^n a_{1j}x_j \right) – \dots $$ En posant $X_1$ et $X_2$ les deux facteurs, on exprime le produit $X_1 X_2$ comme une différence de deux carrés. On se ramène ainsi à une expression avec des termes carrés, et on peut appliquer la méthode du Cas 1.
Exemples d’Application
Exemple 1 : Soit $q(x,y,z) = x^2 + 6y^2 + 16z^2 – 4xy + 6xz – 16yz$ sur $\mathbb{R}^3$.
Le terme $x^2$ existe. On regroupe les termes en $x$ : $$ q(x,y,z) = (x^2 – 4xy + 6xz) + 6y^2 + 16z^2 – 16yz $$ $$ = (x – 2y + 3z)^2 – (-2y+3z)^2 + 6y^2 + 16z^2 – 16yz $$ $$ = (x – 2y + 3z)^2 – (4y^2 – 12yz + 9z^2) + 6y^2 + 16z^2 – 16yz $$ $$ = (x – 2y + 3z)^2 + 2y^2 + 7z^2 – 4yz $$ On recommence avec la forme quadratique restante $q'(y,z) = 2y^2 – 4yz + 7z^2$ : $$ q'(y,z) = 2(y^2 – 2yz) + 7z^2 = 2(y-z)^2 – 2z^2 + 7z^2 = 2(y-z)^2 + 5z^2 $$ Finalement, la décomposition de $q$ est : $$ q(x,y,z) = (x-2y+3z)^2 + 2(y-z)^2 + 5z^2 $$ Les formes linéaires $l_1(x,y,z)=x-2y+3z$, $l_2(x,y,z)=y-z$ et $l_3(x,y,z)=z$ sont indépendantes. Le rang est 3 et la signature est (3,0).
Exemple 2 : Soit $q(x,y,z,t) = xy + yz + zt + tx$ sur $\mathbb{R}^4$.
Il n’y a pas de termes carrés. On utilise l’astuce : $$ q(x,y,z,t) = (x+z)(y+t) $$ On applique l’identité $AB = \frac{1}{4}((A+B)^2 – (A-B)^2)$ avec $A=x+z$ et $B=y+t$ : $$ q(x,y,z,t) = \frac{1}{4}(x+y+z+t)^2 – \frac{1}{4}(x-y+z-t)^2 $$ La décomposition est terminée. Le rang est 2 et la signature est (1,1).