Méthode pour Trouver l’Équation Cartésienne d’un Hyperplan
Un hyperplan est un sous-espace vectoriel dont la dimension est juste en dessous de celle de l’espace ambiant. Dans $\mathbb{R}^3$, un hyperplan est un plan. Dans $\mathbb{R}^4$, c’est un sous-espace de dimension 3. Tout hyperplan peut être décrit par une unique équation linéaire homogène, appelée son équation cartésienne.
- À partir d’un vecteur normal (dans un espace euclidien) :
Un hyperplan $H$ est l’ensemble des vecteurs $u$ orthogonaux à un vecteur non nul donné $n$, appelé vecteur normal. L’équation de l’hyperplan est alors simplement $\langle u, n \rangle = 0$. - À partir d’une base de l’hyperplan :
Soit $H = \text{Vect}(v_1, \dots, v_{n-1})$ un hyperplan de dimension $n-1$ dans un espace de dimension $n$. Un vecteur $u$ appartient à $H$ si et seulement si la famille $(v_1, \dots, v_{n-1}, u)$ est liée. On exprime cette condition en disant que le déterminant de la matrice formée par ces vecteurs est nul.
Exemple 1 : Équation d’un plan dans $\mathbb{R}^3$ à partir d’un vecteur normal
Trouver l’équation du plan $H$ de $\mathbb{R}^3$ qui est orthogonal au vecteur normal $n=(2, -1, 5)$.
Par définition, un vecteur $u=(x,y,z)$ est dans $H$ si $\langle u, n \rangle = 0$.
$\langle (x,y,z), (2,-1,5) \rangle = 2x – y + 5z = 0$.
Conclusion : L’équation cartésienne de l’hyperplan est $2x – y + 5z = 0$. On remarque que les coefficients de l’équation sont les composantes du vecteur normal.
Exemple 2 : Équation d’un plan dans $\mathbb{R}^3$ à partir d’une base
Trouver l’équation du plan $H = \text{Vect}(v_1, v_2)$ avec $v_1=(1,1,0)$ et $v_2=(0,1,2)$.
Un vecteur $u=(x,y,z)$ est dans $H$ si la famille $(v_1, v_2, u)$ est liée. On calcule donc le déterminant de la matrice dont les colonnes sont ces trois vecteurs, et on le pose égal à zéro.
$\det(v_1, v_2, u) = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & x \\ 1 & 1 & y \\ 0 & 2 & z \end{pmatrix} = 0$.
On développe par rapport à la première ligne :
$1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & y \\ 2 & z \end{pmatrix} – 0 \cdot (\dots) + x \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 0$.
$1(z-2y) + x(2-0) = 0$.
$z – 2y + 2x = 0$.
Conclusion : L’équation cartésienne de l’hyperplan est $2x – 2y + z = 0$.
Exemple 3 : Équation d’un hyperplan dans $\mathbb{R}^4$
Trouver l’équation de l’hyperplan $H = \text{Vect}(v_1, v_2, v_3)$ de $\mathbb{R}^4$, avec $v_1=(1,0,0,0)$, $v_2=(0,1,1,0)$ et $v_3=(0,0,1,1)$.
Un vecteur $u=(x,y,z,t)$ est dans $H$ si $\det(v_1, v_2, v_3, u) = 0$.
$\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & y \\ 0 & 1 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 & t \end{pmatrix} = 0$.
On développe par rapport à la première colonne :
$1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & y \\ 1 & 1 & z \\ 0 & 1 & t \end{pmatrix} = 0$.
On développe ce déterminant 3×3 :
$1(t-z) – 0(\dots) + y(1-0) = 0$.
$t – z + y = 0$.
Conclusion : L’équation cartésienne de l’hyperplan est $y – z + t = 0$.
- Un hyperplan dans un espace de dimension $n$ est toujours défini par une seule équation cartésienne.
- Inversement, une équation de la forme $a_1x_1 + \dots + a_nx_n = 0$ (où les $a_i$ ne sont pas tous nuls) définit toujours un hyperplan.
- Dans un espace euclidien, le vecteur $(a_1, \dots, a_n)$ formé par les coefficients de l’équation est un vecteur normal à l’hyperplan.