Montrer qu’une famille de vecteurs est liée
Une famille de vecteurs est dite liée (ou linéairement dépendante) si au moins un des vecteurs de la famille est « redondant », c’est-à-dire qu’il peut s’écrire comme une combinaison linéaire des autres. C’est le contraire d’une famille libre. Démontrer qu’une famille est liée est une étape essentielle pour, par exemple, extraire une base d’une famille génératrice.
Pour une famille de vecteurs $(v_1, \dots, v_k)$, les affirmations suivantes sont équivalentes.
- La définition : La famille est liée s’il existe une combinaison linéaire nulle de ces vecteurs, avec des coefficients non tous nuls.
$\exists (\lambda_1, \dots, \lambda_k) \neq (0, \dots, 0)$ tel que $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_k v_k = 0$. - Le test du rang : On forme une matrice $A$ avec les vecteurs en colonnes. La famille est liée si le rang de la matrice est strictement inférieur au nombre de vecteurs.
$\text{rang}(v_1, \dots, v_k) < k$. - Le raccourci de la dimension : Si la famille contient plus de vecteurs que la dimension de l’espace, elle est automatiquement liée. Par exemple, 3 vecteurs dans $\mathbb{R}^2$ ou 4 vecteurs dans $\mathbb{R}^3$ forment toujours une famille liée.
Exemple 1 : Dépendance évidente
Soit la famille $(v_1, v_2)$ dans $\mathbb{R}^2$ avec $v_1=(1, 2)$ et $v_2=(-2, -4)$.
Méthode de la définition : On cherche à voir si un vecteur est un multiple de l’autre.
On voit immédiatement que $v_2 = -2v_1$.
On peut donc écrire une combinaison linéaire nulle avec des coefficients non nuls :
$2v_1 + v_2 = 0$.
Puisque les coefficients (2 et 1) ne sont pas tous nuls, la famille est liée.
Exemple 2 : Utilisation du rang
Soit la famille $(v_1, v_2, v_3)$ dans $\mathbb{R}^3$ avec $v_1=(1, 2, 1)$, $v_2=(1, 0, -1)$ et $v_3=(1, 4, 3)$.
On a 3 vecteurs. On utilise le test du rang.
1. On forme la matrice et on l’échelonne :
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$
$L_2 \leftarrow L_2 – 2L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 – L_1$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}$
$L_3 \leftarrow L_3 – L_2$
$A’ = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
2. On analyse le rang :
La matrice échelonnée a 2 pivots (donc 2 lignes non nulles). Le rang de la matrice est 2.
On a $\text{rang}(A) = 2$, et le nombre de vecteurs est 3.
Conclusion : Puisque $2 < 3$, la famille est liée.
Exemple 3 : Le raccourci de la dimension
Soit la famille $(v_1, v_2, v_3, v_4)$ dans $\mathbb{R}^3$, avec $v_1=(1,0,0)$, $v_2=(1,1,0)$, $v_3=(1,1,1)$ et $v_4=(5, \pi, -2)$.
Inutile de faire le moindre calcul.
L’espace est $\mathbb{R}^3$, sa dimension est 3.
La famille contient 4 vecteurs.
Conclusion : Comme $4 > 3$, la famille est automatiquement liée.
- Une famille qui n’est pas liée est libre.
- Une famille qui n’est pas libre est liée.
- Une base est une famille qui est à la fois libre et génératrice.
- Si une famille contient le vecteur nul, elle est toujours liée. (Car $1 \cdot 0 = 0$ est une combinaison linéaire nulle avec un coefficient non nul).