Norme d’une matrice

Norme d’une Matrice
Proposition : Norme d’Opérateur

Pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on définit l’application $N(A)$ par : $$ N(A) = \sup_{X \in \mathbb{C}^n, X \neq 0} \frac{\|AX\|}{\|X\|} $$ où $\| \cdot \|$ est l’une des normes usuelles sur $\mathbb{C}^n$ ($\| \cdot \|_1, \| \cdot \|_2$ ou $\| \cdot \|_\infty$). Cette application vérifie les propriétés suivantes :

  1. Le supremum peut être calculé sur la sphère unité : $N(A) = \sup_{\|X\|=1} \|AX\|$.
  2. L’application $N$ est une norme sur l’espace vectoriel $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.
  3. $N(I_n) = 1$, où $I_n$ est la matrice identité.
  4. $N$ est une norme d’algèbre (sous-multiplicative) : $\forall A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), N(AB) \le N(A)N(B)$.

Démonstration

i) L’égalité provient du fait que pour tout $X \neq 0$, le vecteur $Y = X/\|X\|$ est de norme 1, et $\|AY\| = \|AX\|/\|X\|$. Le supremum des valeurs sur tous les vecteurs non nuls est donc le même que celui sur les vecteurs unitaires.

ii) On vérifie les trois axiomes d’une norme. Si $N(A)=0$, alors $\|AX\|=0$ pour tout $X$ unitaire, ce qui implique $AX=0$ pour tout $X$, donc $A=0$. L’homogénéité $N(\lambda A) = |\lambda|N(A)$ et l’inégalité triangulaire $N(A+B) \le N(A)+N(B)$ découlent des propriétés correspondantes de la norme vectorielle $\| \cdot \|$.

iii) $N(I_n) = \sup_{\|X\|=1} \|I_n X\| = \sup_{\|X\|=1} \|X\| = 1$.

iv) Pour tout $X \in \mathbb{C}^n$, on a $\|ABX\| = \|A(BX)\| \le N(A)\|BX\|$. De plus, $\|BX\| \le N(B)\|X\|$. En combinant les deux, on obtient $\|ABX\| \le N(A)N(B)\|X\|$. En divisant par $\|X\|$ (pour $X \neq 0$) et en prenant le supremum, on conclut que $N(AB) \le N(A)N(B)$.

Remarque

  1. Dans la suite, nous noterons simplement $\|A\|$ pour la norme d’opérateur $N(A)$.
  2. L’espace $(\mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \| \cdot \|)$ est une algèbre normée de dimension finie. Il est donc complet, ce qui en fait une algèbre de Banach.
  3. Rappelons qu’une suite de matrices $(A_k)_{k \ge 0}$ est de Cauchy si pour tout $\epsilon > 0$, il existe un rang $N$ tel que pour tous $k, m \ge N$, on a $\|A_k – A_m\| \le \epsilon$. La complétude signifie que toute suite de Cauchy converge.