Soient $f$ et $g$ deux fonctions admettant des développements limités (D.L.) d’ordre $n$ au voisinage de 0 : $$ f(x) = P(x) + x^n\epsilon_1(x) $$ $$ g(x) = Q(x) + x^n\epsilon_2(x) $$ où $P(x)$ et $Q(x)$ sont les parties principales (polynômes de degré au plus $n$).
La somme $f+g$ admet un D.L. d’ordre $n$ au voisinage de 0, dont la partie principale est la somme des parties principales : $$ (f+g)(x) = (P(x)+Q(x)) + x^n\epsilon(x) $$
Le produit $fg$ admet un D.L. d’ordre $n$ au voisinage de 0. Sa partie principale est obtenue en effectuant le produit des polynômes $P(x)Q(x)$ et en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à $n$.
Exemple (Produit)
Calculons le D.L. à l’ordre 3 en 0 de $h(x) = \frac{\ln(1+x)}{1-x}$. On a :
$\ln(1+x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + x^3\epsilon_1(x)$
$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^3\epsilon_2(x)$
On effectue le produit des parties principales en ne gardant que les termes de degré $\le 3$ : $$ (x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3})(1 + x + x^2 + x^3) = x + x^2 + x^3 – \frac{x^2}{2} – \frac{x^3}{2} + \frac{x^3}{3} + \dots $$ $$ = x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{6}x^3 + \dots $$ Le D.L. est donc $h(x) = x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{6}x^3 + x^3\epsilon(x)$.
Si $g(0) \neq 0$, le quotient $f/g$ admet un D.L. d’ordre $n$ au voisinage de 0. Sa partie principale est le quotient de la division suivant les puissances croissantes de $P(x)$ par $Q(x)$ à l’ordre $n$.
Exemple (Quotient)
Calculons le D.L. à l’ordre 5 en 0 de $\tan(x) = \frac{\sin x}{\cos x}$.
$\sin x = x – \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + x^5\epsilon_1(x)$
$\cos x = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + x^5\epsilon_2(x)$
On effectue la division suivant les puissances croissantes de $x – \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$ par $1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$. On trouve un quotient de $x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5$. Le D.L. est donc $\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + x^5\epsilon(x)$.
Si $g(0)=0$, la fonction composée $f \circ g$ admet un D.L. d’ordre $n$ au voisinage de 0. Sa partie principale s’obtient en composant les parties principales $P(Q(x))$ et en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à $n$.
Exemple (Composée)
Calculons le D.L. à l’ordre 3 en 0 de $h(x) = \sqrt{1 + \ln(1+x)}$. On pose $f(u) = \sqrt{1+u}$ et $g(x) = \ln(1+x)$. On a bien $g(0)=0$.
$g(x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + x^3\epsilon_1(x)$
$f(u) = 1 + \frac{1}{2}u – \frac{1}{8}u^2 + \frac{1}{16}u^3 + u^3\epsilon_2(u)$
On substitue $u = g(x)$ dans le D.L. de $f$ : $$ h(x) = 1 + \frac{1}{2}\left(x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right) – \frac{1}{8}\left(x – \frac{x^2}{2}\right)^2 + \frac{1}{16}(x)^3 + \dots $$ En ne gardant que les termes de degré $\le 3$, on obtient : $$ h(x) = 1 + \frac{1}{2}x – \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{6}x^3 – \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{8}x^3 + \frac{1}{16}x^3 + \dots $$ $$ h(x) = 1 + \frac{1}{2}x – \frac{3}{8}x^2 + \frac{17}{48}x^3 + x^3\epsilon(x) $$