Soit $K$ un corps commutatif. Une matrice à coefficients dans $K$ est un arrangement rectangulaire d’éléments de $K$, organisé en lignes et en colonnes. Formellement, il s’agit d’une suite double finie $(a_{ij})_{1 \le i \le m, 1 \le j \le n}$ d’éléments de $K$.
Remarque
Une matrice $A=(a_{ij})$ est typiquement représentée par un tableau : $$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} $$ Ce tableau possède $m$ lignes et $n$ colonnes. On dit que $A$ est une matrice de taille (ou de type) $(m,n)$. L’élément $a_{ij}$ se situe à l’intersection de la $i$-ème ligne et de la $j$-ème colonne. Si $m=n$, la matrice est dite carrée d’ordre $n$.
Exemple
Les vecteurs de $K^n$ peuvent être vus comme des matrices. Selon le contexte, un vecteur $X = (x_1, \dots, x_n)$ peut être représenté comme une matrice ligne (de taille $1 \times n$) ou une matrice colonne (de taille $n \times 1$).
Notations et Opérations
On note $\mathcal{M}_{m,n}(K)$ l’ensemble des matrices de taille $(m,n)$ à coefficients dans $K$, et $\mathcal{M}_n(K)$ l’ensemble des matrices carrées d’ordre $n$. Ces ensembles sont munis des opérations suivantes :
- Addition : Pour $A=(a_{ij})$ et $B=(b_{ij})$ dans $\mathcal{M}_{m,n}(K)$, leur somme est $A+B = (a_{ij}+b_{ij})$.
- Multiplication externe : Pour $A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_{m,n}(K)$ et $\lambda \in K$, le produit est $\lambda \cdot A = (\lambda a_{ij})$.
- Produit matriciel : Pour $A=(a_{ik}) \in \mathcal{M}_{m,n}(K)$ et $B=(b_{kj}) \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$, leur produit $AB$ est une matrice $C=(c_{ij}) \in \mathcal{M}_{m,p}(K)$ dont les coefficients sont donnés par : $$ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} $$
Remarque
- Le produit matriciel $AB$ n’est défini que si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$.
- La multiplication est une loi de composition interne sur l’ensemble des matrices carrées $\mathcal{M}_n(K)$.
Soit $K$ un corps commutatif.
- L’ensemble $(\mathcal{M}_{m,n}(K), +, \cdot)$ est un K-espace vectoriel.
- L’ensemble $(\mathcal{M}_n(K), +, \times, \cdot)$ est une K-algèbre.
Démonstration
i) La vérification que $(\mathcal{M}_{m,n}(K), +, \cdot)$ est un K-espace vectoriel est directe. L’élément neutre pour l’addition est la matrice nulle, dont tous les coefficients sont nuls.
ii) Pour montrer que $\mathcal{M}_n(K)$ est une K-algèbre, il suffit de vérifier que la multiplication est associative et distributive par rapport à l’addition, et qu’il existe un élément neutre. L’associativité $(AB)C = A(BC)$ se démontre par le calcul des coefficients. Pour $A=(a_{ik})$, $B=(b_{kl})$, $C=(c_{lj})$, le coefficient à la position $(i,j)$ de $(AB)C$ est $\sum_{l=1}^n (\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kl})c_{lj}$. Celui de $A(BC)$ est $\sum_{k=1}^n a_{ik}(\sum_{l=1}^n b_{kl}c_{lj})$. Par distributivité dans $K$, ces deux sommes sont égales. L’élément neutre de la multiplication est la matrice identité $I_n$, qui a des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs.
Remarque
Une matrice $P \in \mathcal{M}_n(K)$ est dite inversible s’il existe une matrice $Q \in \mathcal{M}_n(K)$ telle que $PQ=QP=I_n$. L’ensemble des matrices inversibles de $\mathcal{M}_n(K)$, noté $GL_n(K)$, muni de la multiplication matricielle, forme un groupe appelé groupe linéaire.