Ordre et Opérations – Cours Tronc commun Science

Cours : Ordre et Opérations
Ordre et Opérations

1. Ordre et Opérations

Activité

Comparer les Nombres A et B dans les cas suivants :

  • $A = \frac{7}{15}$ et $B = \frac{6}{17}$
  • $A = 3\sqrt{5}$ et $B = \sqrt{37}$
Définition

Soient $a$ et $b$ deux réels. On dit que $a$ est inférieur ou égal à $b$ et on écrit $a \le b$ si $a – b \le 0$.

Ordre et Addition

Soient $a, b, c$ et $d$ des nombres réels.

  • Si $a \le b$ alors $a+c \le b+c$.
  • Si $a \le b$ et $c \le d$, alors $a+c \le b+d$.
Ordre et Multiplication

Soient $a, b, c, d$ et $k$ des nombres réels.

  • Si $k \ge 0$ alors : $a \le b$ est équivalent à $ka \le kb$.
  • Si $k \le 0$ alors : $a \le b$ est équivalent à $ka \ge kb$.
  • Si $0 \le a \le b$ et $0 \le c \le d$, alors : $ac \le bd$.
Ordre et Inverse

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls.

  • Si $0 < a \le b$, alors $0 < \frac{1}{b} \le \frac{1}{a}$.
  • Si $a \le b < 0$, alors $\frac{1}{b} \le \frac{1}{a} < 0$.
Ordre, Carré et Racine Carrée

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.

  • Si $0 \le a \le b$ alors $\sqrt{a} \le \sqrt{b}$.
  • Si $0 \le a \le b$ alors $a^2 \le b^2$.
  • Si $a \le b \le 0$, alors $a^2 \ge b^2$.

2. L’encadrement

Activité

Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que : $3 \le x \le 7$ et $2 \le y \le 5$.

Encadrer les expressions suivantes : $x+y$, $x-y$, $xy$ et $\frac{x}{y}$.

Définition : Encadrement

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$. Chacune des doubles inégalités suivantes : $a \le x \le b$, $a \le x < b$, $a < x \le b$ et $a < x < b$ est appelée un encadrement de $x$ d’amplitude $b-a$.

3. Intervalles

Activité : Droite numérique

Représenter sur une droite numérique les ensembles de points d’abscisse $x$ dans les cas suivants :

  • $2 \le x \le 5$
  • $1 \le x < 4$
  • $x \ge 2$
  • $x < 5$
Activité : Réunion et Intersection

On considère les intervalles $I = [-3; 5]$, $J = ]2; 7[$ et $K = [6; +\infty[$.

  1. Représenter les intervalles I, J et K sur la droite numérique.
  2. Déterminer : $I \cap J$, $J \cap K$ et $I \cap K$.
  3. Déterminer : $I \cup J$, $J \cup K$ et $I \cup K$.
Centre, Rayon, Longueur

Soit $I = [a; b]$ un intervalle de $\mathbb{R}$ tel que $a < b$.

  • On appelle longueur de I le nombre : $b-a$.
  • On appelle centre de I le nombre : $\frac{b+a}{2}$.
  • On appelle rayon de I le nombre : $\frac{b-a}{2}$.

4. Valeur Absolue

Définition : Valeur Absolue

Soit $x \in \mathbb{R}$. On appelle valeur absolue du nombre $x$ le nombre réel positif noté $|x|$ tel que :

  • Si $x \ge 0$, alors $|x| = x$.
  • Si $x \le 0$, alors $|x| = -x$.

La distance entre deux points A(a) et B(b) sur un axe normé est $AB = |b-a|$.

Propriétés de la Valeur Absolue

Soient $x, y \in \mathbb{R}$ et $r \in \mathbb{R}_+^*$.

  • $|x| = |-x|$
  • $|x^2| = |x|^2 = x^2$ et $\sqrt{x^2} = |x|$
  • $|xy| = |x||y|$ et $|\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|}$ (avec $y \neq 0$)
  • $|x+y| \le |x| + |y|$ (Inégalité triangulaire)
  • $|x|=|y|$ signifie $x=y$ ou $x=-y$.
  • $|x| \le r$ signifie que $-r \le x \le r$.
  • $|x| \ge r$ signifie que $x \ge r$ ou $x \le -r$.

5. Approximations

Approximation par défaut et par excès

Dans un encadrement $a \le x \le b$ :

  • Le nombre $a$ est appelé approximation par défaut de $x$ à $b-a$ près.
  • Le nombre $b$ est appelé approximation par excès de $x$ à $b-a$ près.
Valeur Approchée

Soient $x \in \mathbb{R}$ et $r \in \mathbb{R}_+^*$. Si $|x-a| \le r$, on dit que $a$ est une valeur approchée de $x$ à $r$ près.