Définition : Parité d’une Fonction
Soit $f: D_f \to \mathbb{R}$ une fonction réelle.
- $f$ est dite paire si et seulement si pour tout $x \in D_f$, on a $-x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$.
- $f$ est dite impaire si et seulement si pour tout $x \in D_f$, on a $-x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$.
Remarque
- Le graphe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (l’axe Oy).
- Le graphe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Exemple
- La fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x \mapsto x^2$ est paire.
- La fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x \mapsto x^3$ est impaire.
Définition : Périodicité d’une Fonction
Soit $f: D_f \to \mathbb{R}$ une fonction réelle. On dit que $f$ est périodique de période $T > 0$ si et seulement si :
- Pour tout $x \in D_f$, on a $x+T \in D_f$.
- Pour tout $x \in D_f$, on a $f(x+T) = f(x)$.
La période est le plus petit réel strictement positif $T$ qui vérifie la condition (ii).
Remarque
Le graphe d’une fonction périodique de période $T$ est invariant par la translation de vecteur $T\vec{i}$, où $\vec{i}$ est le vecteur unitaire de l’axe des abscisses.