Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n \ge 1$. Pour tout endomorphisme $u$ de $E$, il existe un unique polynôme $P \in K[X]$, unitaire et non constant, qui vérifie les deux conditions suivantes :
- $P$ est un polynôme annulateur de $u$, c’est-à-dire $P(u) = 0$.
- Si $Q$ est un autre polynôme annulateur de $u$, alors $P$ divise $Q$.
Ce polynôme unique est appelé le polynôme minimal de $u$ et est noté $M_u$.
Démonstration
L’espace des endomorphismes $L(E)$ est de dimension finie $n^2$. La famille d’endomorphismes $(Id_E, u, u^2, \dots, u^{n^2})$ contient $n^2+1$ éléments. Elle est donc nécessairement liée. Il existe ainsi des scalaires $a_0, a_1, \dots, a_{n^2}$, non tous nuls, tels que $\sum_{i=0}^{n^2} a_i u^i = 0$.
Cela signifie que le polynôme $T(X) = \sum_{i=0}^{n^2} a_i X^i$ est un polynôme annulateur non nul de $u$. L’ensemble $\mathcal{A} = \{ S \in K[X] \mid S(u)=0 \text{ et } S \neq 0 \}$ est donc un idéal non nul de l’anneau principal $K[X]$. Il existe par conséquent un unique polynôme unitaire, que nous noterons $M_u$, qui engendre cet idéal.
Par définition, $M_u(u)=0$. De plus, si $Q(u)=0$, alors $Q \in \mathcal{A}$, donc $M_u$ divise $Q$. Le polynôme $M_u$ ne peut pas être constant, car si $M_u=1$, alors $Id_E=0$, ce qui est impossible car $n \ge 1$.
Remarque
Le polynôme minimal $M_u$ d’un endomorphisme $u$ est caractérisé comme étant le polynôme unitaire de plus bas degré qui annule $u$.
Exemples
- Si $u=0$ (l’endomorphisme nul), alors $M_u(X) = X$.
- Si $u=Id_E$, alors $M_u(X) = X-1$.
- Si $u$ est un projecteur (avec $u \neq 0$ et $u \neq Id_E$), alors $u^2-u=0$. Le polynôme $P(X)=X^2-X=X(X-1)$ est annulateur. Comme $u$ n’est ni nul ni l’identité, les polynômes $X$ et $X-1$ ne sont pas annulateurs. Le polynôme minimal est donc $M_u(X) = X^2-X$.
Soit $u$ un endomorphisme d’un espace $E$ de dimension finie et $P$ un polynôme non constant.
- L’endomorphisme $P(u)$ est inversible si et seulement si $P$ et le polynôme minimal $M_u$ sont premiers entre eux.
- Dans ce cas, l’inverse $(P(u))^{-1}$ est lui-même un polynôme en $u$.
Démonstration
($\impliedby$) Si $P$ et $M_u$ sont premiers entre eux, le théorème de Bézout garantit l’existence de deux polynômes $A$ et $B$ tels que $AP + BM_u = 1$. En évaluant cette identité en $u$, on obtient : $A(u) \circ P(u) + B(u) \circ M_u(u) = Id_E$. Comme $M_u(u)=0$, il reste $A(u) \circ P(u) = Id_E$. Puisque $E$ est de dimension finie, cela suffit à prouver que $P(u)$ est inversible et que son inverse est $(P(u))^{-1} = A(u)$, qui est bien un polynôme en $u$.
($\implies$) Supposons $P(u)$ inversible. Soit $\Delta$ le PGCD de $P$ et $M_u$. On peut écrire $P=Q_1 \Delta$ et $M_u = Q_2 \Delta$. Alors $P(u) = Q_1(u) \circ \Delta(u)$. Comme $P(u)$ est inversible, $\Delta(u)$ doit l’être aussi. D’autre part, $M_u(u) = Q_2(u) \circ \Delta(u) = 0$. En composant par l’inverse de $\Delta(u)$, on obtient $Q_2(u)=0$. Cela signifie que $M_u$ divise $Q_2$. Or, $Q_2$ est un diviseur de $M_u$. Cela n’est possible que si $\Delta$ est un polynôme constant. Comme $M_u$ est unitaire, $\Delta$ est le polynôme constant 1. $P$ et $M_u$ sont donc premiers entre eux.