Notations et Définitions
Soit $E$ un K-espace vectoriel. Pour un endomorphisme $u$ de $E$ et un entier $m \ge 0$, on définit les puissances de $u$ par récurrence :
- Pour $m=0$, on pose $u^0 = Id_E$ (l’application identité).
- Pour $m \ge 1$, on pose $u^m = u \circ u^{m-1}$.
Étant donné un polynôme $P \in K[X]$ de la forme $P(X) = a_0 + a_1X + \dots + a_nX^n$, on peut l’évaluer en l’endomorphisme $u$. On définit l’endomorphisme polynôme en u, noté $P(u)$, par : $$ P(u) = a_0 Id_E + a_1 u + \dots + a_n u^n = \sum_{i=0}^n a_i u^i $$
Proposition : Propriétés des Polynômes d’Endomorphismes
L’application qui à un polynôme $P$ associe l’endomorphisme $P(u)$ est un morphisme d’algèbres. Plus précisément :
- Si $P=1$ (polynôme constant égal à 1), alors $P(u) = Id_E$.
- Pour tous polynômes $P, Q \in K[X]$, on a $(P+Q)(u) = P(u) + Q(u)$.
- Pour tous polynômes $P, Q \in K[X]$, on a $(PQ)(u) = P(u) \circ Q(u)$.
Remarque
- De la même manière, pour une matrice carrée $A \in \mathcal{M}_n(K)$, on définit la matrice $P(A) = \sum a_i A^i$.
- Une conséquence importante de la proposition est que deux polynômes en $u$ commutent toujours : $P(u) \circ Q(u) = Q(u) \circ P(u)$.
- Si $E$ est de dimension finie et $A$ est la matrice de $u$ dans une base $\beta$, alors la matrice de $P(u)$ dans cette même base est $P(A)$ : $Mat(P(u), \beta) = P(Mat(u, \beta))$.