Produit Scalaire dans le Plan – Cours Tronc commun Science

Cours : Produit Scalaire dans le Plan
Produit Scalaire dans le Plan

1. Produit Scalaire de deux vecteurs

Définition

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan et A, B et C trois points du plan tels que : $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{AC}$.

Soit H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).

Le produit scalaire des deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$, est le nombre réel défini comme suit :

  • Si $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ ont le même sens, alors : $\vec{u} \cdot \vec{v} = AB \times AH$.
  • Si $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ ont des sens contraires, alors : $\vec{u} \cdot \vec{v} = -AB \times AH$.
Application 1

Soit ABCD un trapèze isocèle tel que : $AB=6$ et $CD=5$ et soient I et J les milieux respectifs de [AB] et [CD].

Calculer les produits scalaires suivants :

  • $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$
  • $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$
  • $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$
Formule Trigonométrique

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan, on a :

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) $$

Soient A, B et C trois points du plan, on a :

$$ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}) $$

2. Propriétés du Produit Scalaire

Propriétés Algébriques

Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs du plan et $k$ un réel. On a :

  • Symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
  • Bilinéarité : $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (k\vec{v}) = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$
  • Distributivité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$
  • Carré scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{u} = \vec{u}^2 = ||\vec{u}||^2$
  • Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
Identités Remarquables

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan. On a :

  • $||\vec{u} + \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2$
  • $||\vec{u} – \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 – 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2$
  • $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} – \vec{v}) = ||\vec{u}||^2 – ||\vec{v}||^2$
  • $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} ( ||\vec{u} + \vec{v}||^2 – ||\vec{u}||^2 – ||\vec{v}||^2 )$
Formule avec les longueurs

Soient A, B et C trois points du plan, on a :

$$ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2} (AB^2 + AC^2 – BC^2) $$

3. Théorèmes Métriques

Théorème d’Al-Kashi

Soit ABC un triangle. On a :

  • $BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 AB \times AC \times \cos(\hat{A})$
  • $AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 AB \times BC \times \cos(\hat{B})$
  • $AB^2 = AC^2 + BC^2 – 2 AC \times BC \times \cos(\hat{C})$
Théorème de la Médiane

Soit ABM un triangle et I le milieu de [AB]. On a :

$$ MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{1}{2}AB^2 $$
Relations métriques dans un triangle rectangle

Soit ABC un triangle et H le projeté orthogonal de A sur (BC) et I le milieu de [BC]. ABC est rectangle en A si et seulement si l’une des relations suivantes est vérifiée :

  • $BC^2 = AC^2 + AB^2$ (Pythagore)
  • $AB^2 = BH \times BC$
  • $AH^2 = HB \times HC$
  • $AI = \frac{1}{2}BC$