Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel doté d’une forme bilinéaire symétrique $f$.
- $f$ est dite positive si, pour tout vecteur $x \in E$, on a $f(x,x) \ge 0$.
- $f$ est dite définie positive si elle est positive et si $f(x,x) = 0 \implies x=0$.
- Un produit scalaire sur $E$ est une forme bilinéaire symétrique définie positive.
- Un $\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d’un produit scalaire est un espace préhilbertien réel.
- Un espace préhilbertien réel de dimension finie est appelé un espace euclidien.
Remarque
- Tout produit scalaire est non dégénéré. En effet, si $f(x,y)=0$ pour tout $x$, alors en particulier $f(y,y)=0$, ce qui implique $y=0$ car la forme est définie positive.
- Une forme quadratique $q$ est dite positive (resp. définie positive) si sa forme polaire associée l’est.
- Une matrice symétrique réelle $A$ est dite positive (resp. définie positive) si la forme quadratique $X \mapsto {}^tXAX$ l’est.
Exemples
- Le produit scalaire usuel sur $\mathbb{R}^n$, défini par $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$, en fait un espace euclidien.
- Sur l’espace des matrices carrées réelles $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, l’application $(A,B) \mapsto tr({}^tAB)$ définit un produit scalaire.
- L’espace $l^2(\mathbb{R})$ des suites réelles de carré sommable est un espace préhilbertien pour le produit scalaire $\langle (x_n), (y_n) \rangle = \sum_{n=0}^\infty x_n y_n$.
- L’espace $C([a,b], \mathbb{R})$ des fonctions continues sur un segment est un espace préhilbertien pour le produit scalaire $\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t)g(t)dt$.
Soit $E$ un espace euclidien.
- $E$ possède au moins une base orthonormale.
- Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$, on a $E = F \oplus F^\perp$.
- Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$, on a $(F^\perp)^\perp = F$.
Démonstration
i) Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique. Il admet donc une base orthogonale $(e_1, \dots, e_n)$. Comme il est défini positif, $f(e_i, e_i) > 0$ pour tout $i$. On peut alors « normaliser » cette base en posant $v_i = \frac{1}{\sqrt{f(e_i, e_i)}} e_i$. La famille $(v_i)$ est alors une base orthonormale.
ii) Il suffit de montrer que $F$ est non isotrope, c’est-à-dire $F \cap F^\perp = \{0\}$. Soit $x \in F \cap F^\perp$. Alors $f(x,x)=0$. Comme $f$ est définie positive, cela implique $x=0$.
iii) Un produit scalaire est non dégénéré. La propriété $(F^\perp)^\perp = F$ est donc une conséquence directe des théorèmes sur les orthogonaux pour les formes non dégénérées en dimension finie.