Soit $f$ une fonction définie sur un domaine $D_f$. Si un point $x_0$ n’appartient pas à $D_f$ mais que $f$ admet une limite finie $l$ en $x_0$, on peut « combler le trou » dans la définition de $f$.
On définit la fonction $g$ par : $$ g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \in D_f \\ l & \text{si } x = x_0 \end{cases} $$ La fonction $g$ est alors continue en $x_0$ et coïncide avec $f$ sur son domaine initial. On dit que $g$ est le prolongement par continuité de $f$ en $x_0$.
Exemples
- Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x) = \frac{2x^2 – x – 1}{x-1}$.
Pour $x \neq 1$, on peut simplifier par $(x-1)$ car $2x^2-x-1 = (x-1)(2x+1)$. On a donc $f(x)=2x+1$. La limite en $x_0=1$ est $\lim_{x \to 1} f(x) = 3$. Le prolongement par continuité de $f$ est la fonction $g(x)=2x+1$ définie sur $\mathbb{R}$ tout entier. - La fonction $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ est définie sur $\mathbb{R}^*$. On sait que sa limite en 0 est 1. Son prolongement par continuité est la fonction $g$ définie par $g(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ si $x \neq 0$, et $g(0)=1$.
Remarque
Les propriétés sur les limites des sommes, produits et quotients de fonctions se transposent directement à la continuité.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en un point $x_0$, et $\lambda \in \mathbb{R}$. Alors :
- Les fonctions $f+g$, $\lambda f$ et $fg$ sont continues en $x_0$.
- Si de plus $g(x_0) \neq 0$, alors la fonction $\frac{f}{g}$ est continue en $x_0$.
Si $f$ est une fonction continue en $x_0$ et si $g$ est une fonction continue en $y_0 = f(x_0)$, alors la fonction composée $g \circ f$ est continue en $x_0$.