Dire que deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ sont supplémentaires dans un espace $E$ (noté $E = F \oplus G$) signifie qu’ils « s’emboîtent » parfaitement pour reconstituer $E$ sans se chevaucher inutilement. Chaque vecteur de $E$ peut alors être vu de manière unique comme la somme d’un vecteur de $F$ et d’un vecteur de $G$.
En dimension finie, la méthode la plus courante pour prouver que $E = F \oplus G$ consiste à vérifier deux points :
- Intersection réduite au vecteur nul : Le seul vecteur commun à $F$ et $G$ est le vecteur nul.
$F \cap G = \{0_E\}$. - Somme des dimensions : La somme des dimensions de $F$ et $G$ est égale à la dimension de l’espace total $E$.
$\dim(F) + \dim(G) = \dim(E)$.
Ces deux conditions, utilisées ensemble, sont suffisantes grâce à la formule de Grassmann : $\dim(F+G) = \dim(F) + \dim(G) – \dim(F \cap G)$. Si les conditions 1 et 2 sont vraies, alors $\dim(F+G) = \dim(E)$, ce qui prouve que $F+G=E$.
Une autre façon de le prouver, qui est la définition même de la somme directe, est de montrer que :
Tout vecteur $u \in E$ peut s’écrire de manière unique comme la somme d’un vecteur de $F$ et d’un vecteur de $G$.
$\forall u \in E, \quad \exists! (v, w) \in F \times G, \quad u = v + w$.
Cette méthode est souvent moins directe car prouver l’unicité pour tous les vecteurs peut être complexe.
Exemple : Un plan et une droite dans $\mathbb{R}^3$
Soit $E = \mathbb{R}^3$. Montrons que le plan $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid z=0\}$ et la droite $G = Vect(u)$ avec $u=(1,1,1)$ sont supplémentaires.
1. Calculer les dimensions :
- Un vecteur de $F$ est de la forme $(x,y,0) = x(1,0,0) + y(0,1,0)$. Une base de $F$ est $((1,0,0), (0,1,0))$. Donc $\dim(F)=2$.
- $G$ est une droite vectorielle engendrée par un seul vecteur non nul. Donc $\dim(G)=1$.
- On vérifie la condition sur les dimensions : $\dim(F) + \dim(G) = 2 + 1 = 3 = \dim(\mathbb{R}^3)$. La condition est remplie.
2. Déterminer l’intersection $F \cap G$ :
Soit $v$ un vecteur dans l’intersection $F \cap G$.
- Puisque $v \in G$, il existe un scalaire $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $v = \lambda \cdot u = \lambda(1,1,1) = (\lambda, \lambda, \lambda)$.
- Puisque $v \in F$, sa troisième composante doit être nulle. Donc $\lambda = 0$.
Si $\lambda=0$, alors $v = (0,0,0) = 0_{\mathbb{R}^3}$. Le seul vecteur dans l’intersection est le vecteur nul. Donc $F \cap G = \{0_{\mathbb{R}^3}\}$.
Nous avons montré que $\dim(F) + \dim(G) = \dim(E)$ et que $F \cap G = \{0_E\}$.
Les deux conditions sont vérifiées, on peut donc conclure que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $\mathbb{R}^3$, et on note $\mathbb{R}^3 = F \oplus G$.