En analyse mathématique, on ne se contente pas de savoir si une fonction est dérivable. On s’intéresse aussi à la « qualité » de cette dérivabilité. La notion de classe de régularité (notée $C^k$) permet de classifier les fonctions selon le nombre de fois qu’elles peuvent être dérivées et si leurs dérivées successives sont continues.
Une fonction $f$ est dite de classe $C^0$ sur un intervalle $I$ si elle est continue sur cet intervalle. C’est le premier niveau de régularité.
Une fonction $f$ est dite de classe $C^1$ sur un intervalle $I$ si :
- Elle est dérivable sur $I$.
- Sa fonction dérivée, notée $f’$, est continue sur $I$.
On dit alors que $f$ est continûment dérivable.
De manière générale, pour un entier $k \ge 1$, une fonction $f$ est de classe $C^k$ sur un intervalle $I$ si :
- Elle est $k$ fois dérivable sur $I$.
- Sa $k$-ième dérivée, notée $f^{(k)}$, est continue sur $I$.
Par exemple, une fonction de classe $C^2$ est deux fois dérivable, et sa dérivée seconde $f »$ est continue.
Une fonction $f$ est de classe $C^\infty$ (prononcé « C-infini ») sur un intervalle $I$ si elle est indéfiniment dérivable sur cet intervalle. Autrement dit, pour tout entier $k \ge 1$, la dérivée $k$-ième $f^{(k)}$ existe.
Ces fonctions sont aussi appelées fonctions lisses (« smooth functions » en anglais).
Ces classes sont emboîtées les unes dans les autres. Si une fonction est de classe $C^k$, elle est automatiquement de classe $C^{k-1}$, et ainsi de suite jusqu’à $C^0$. Cela forme une chaîne d’inclusions : $$ C^\infty \subset \dots \subset C^{k+1} \subset C^k \subset \dots \subset C^2 \subset C^1 \subset C^0 $$ L’inverse est faux : une fonction $C^k$ n’est pas nécessairement $C^{k+1}$.
Exemples Concrets
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Fonctions polynomiales, exponentielle, sinus, cosinus :
Toutes ces fonctions usuelles sont de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$. On peut les dériver autant de fois que l’on veut.
Par exemple, si $f(x) = x^3$, alors $f'(x) = 3x^2$, $f »(x) = 6x$, $f^{(3)}(x) = 6$, et $f^{(k)}(x) = 0$ pour $k \ge 4$. -
Fonction valeur absolue :
La fonction $f(x) = |x|$ est de classe $C^0$ (elle est continue) mais n’est pas de classe $C^1$ car elle n’est pas dérivable en $x=0$. -
Un exemple de fonction $C^1$ non $C^2$ :
Considérons la fonction $f(x) = x|x|$.- Sur $\mathbb{R}$, $f(x)$ est continue et dérivable, avec $f'(x) = 2|x|$.
- La dérivée $f'(x)=2|x|$ est elle-même continue partout. Donc, $f$ est bien de classe $C^1$.
- Cependant, $f'(x)$ n’est pas dérivable en $0$. La dérivée seconde $f »(x)$ n’existe donc pas en ce point. Par conséquent, $f$ n’est pas de classe $C^2$.