Considérons un système de $n$ équations linéaires à $n$ inconnues, écrit sous forme matricielle : $$ AX = B $$
Un tel système est appelé un système de Cramer si sa matrice des coefficients $A$ est carrée et inversible. Cette condition est équivalente à dire que le déterminant de $A$ est non nul ($\det(A) \neq 0$).
Dans ce cas, le système admet une solution unique. La règle de Cramer fournit une formule explicite pour chaque composante de cette solution.
Soit $AX=B$ un système de Cramer de $n$ équations à $n$ inconnues. La solution unique $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ est donnée par : $$ \forall j \in \{1, \dots, n\}, \quad x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)} $$ où $A_j$ est la matrice obtenue en remplaçant la $j$-ième colonne de la matrice $A$ par le vecteur colonne $B$.
Démonstration Détaillée
La démonstration est une conséquence directe de la formule de l’inverse d’une matrice utilisant la comatrice.
- Solution unique : Puisque le système est de Cramer, $\det(A) \neq 0$, la matrice $A$ est inversible. La solution unique du système est donc donnée par : $$ X = A^{-1}B $$
- Formule de l’inverse : On sait que l’inverse d’une matrice est donné par la formule : $$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \tilde{A} $$ où $\tilde{A}$ est la matrice adjointe de $A$, c’est-à-dire la transposée de la comatrice de $A$: $\tilde{A} = {}^t(\text{com}(A))$.
- Expression de la solution : En substituant, on obtient : $$ X = \frac{1}{\det(A)} {}^t(\text{com}(A)) B $$ Explicitons la $j$-ième composante $x_j$ de ce vecteur solution. C’est le produit de la $j$-ième ligne de $\frac{1}{\det(A)} {}^t(\text{com}(A))$ par le vecteur colonne $B$. La $j$-ième ligne de ${}^t(\text{com}(A))$ est la $j$-ième colonne de $\text{com}(A)$. Si $C_{ik}$ désigne le cofacteur de l’élément $a_{ik}$ de $A$, on a : $$ x_j = \frac{1}{\det(A)} \sum_{i=1}^n C_{ij} b_i $$
- Reconnaissance du déterminant : Considérons maintenant le déterminant de la matrice $A_j$, où la $j$-ième colonne a été remplacée par $B$. $$ A_j = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & b_1 & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & b_n & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} $$ Développons le déterminant de $A_j$ par rapport à sa $j$-ième colonne. Les éléments de cette colonne sont les $b_i$, et leurs cofacteurs sont exactement les mêmes que les cofacteurs des éléments $a_{ij}$ de la matrice $A$ originale. On obtient donc : $$ \det(A_j) = \sum_{i=1}^n b_i C_{ij} $$
- Conclusion : En comparant l’expression obtenue à l’étape 3 et celle de l’étape 4, on voit que : $$ x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)} $$ Ce qui achève la démonstration.
Implications et Utilisation
- Intérêt théorique : La règle de Cramer est d’une grande importance théorique car elle donne une expression explicite et formelle de la solution d’un système linéaire. Elle est utile dans les démonstrations où l’on a besoin de manipuler la forme de la solution.
- Inefficacité pratique : En pratique, pour les systèmes de grande taille, la règle de Cramer est numériquement très inefficace et instable. Le calcul de nombreux déterminants est beaucoup plus coûteux en termes de calculs que des méthodes comme l’élimination de Gauss-Jordan ou la décomposition LU.
- Petits systèmes : Elle reste cependant une méthode rapide et pratique pour résoudre à la main des systèmes de petite taille (2×2 ou 3×3).