Les règles de de l’Hospital fournissent une méthode puissante pour lever les indéterminations du type $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$ lors du calcul de limites de quotients de fonctions.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a,b[$ et dérivables sur $]a,b[$.
- Cas $\frac{0}{0}$ en $a^+$ : Si $f(a)=g(a)=0$ et si $\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe (finie ou infinie), alors : $$ \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$
- Cas $\frac{\infty}{\infty}$ en $a^+$ : Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} g(x) = +\infty$ et si $\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe, alors : $$ \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$
- Cas en $+\infty$ : Les règles précédentes restent valables si l’on remplace le point $a$ par $+\infty$.
Remarque
Il est crucial de n’appliquer cette règle qu’en présence d’une forme indéterminée. Si le quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ n’est pas une forme indéterminée, la limite du quotient des dérivées n’a en général aucune raison d’être égale à la limite du quotient initial. Par exemple, $\lim_{x \to 1} \frac{x^2}{2x+1} = \frac{1}{3}$, alors que $\lim_{x \to 1} \frac{(x^2)’}{(2x+1)’} = \lim_{x \to 1} \frac{2x}{2} = 1$.
Exemples d’Application
- Calcul de $\lim_{x \to 1} \frac{x^n-1}{x-1}$ (forme $\frac{0}{0}$) : $$ \lim_{x \to 1} \frac{x^n-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x^n-1)’}{(x-1)’} = \lim_{x \to 1} \frac{nx^{n-1}}{1} = n $$
- Calcul de $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x}}$ (forme $\frac{0}{0}$) : $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} = 0 $$
- Applications successives : $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^4-x^2}{x^3-x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{4x^3-2x}{3x^2-2x} = \lim_{x \to 0} \frac{12x^2-2}{6x-2} = \frac{-2}{-2} = 1 $$
- Calcul de $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}$ (forme $\frac{\infty}{\infty}$) : $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0 $$
- Transformation préalable : Pour $\lim_{x \to 0^+} x^a \ln(x)$ (forme $0 \cdot (-\infty)$) avec $a>0$ : $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x^{-a}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-ax^{-a-1}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^a}{-a} = 0 $$
- Transformation préalable : Pour $\lim_{x \to 0^+} (\frac{1}{x} – \frac{1}{e^x-1})$ (forme $\infty – \infty$) : $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x-1}{e^x-1+xe^x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x}{2e^x+xe^x} = \frac{1}{2} $$