Règles de de l’Hospital
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a,b[$ et dérivables sur $]a,b[$.
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Cas de la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ :
Si $f(a)=g(a)=0$ et si la limite $\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe (qu’elle soit finie ou infinie), alors : $$ \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$ -
Cas de la forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ :
Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ et $\lim_{x \to a^+} g(x) = \pm\infty$, et si la limite $\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe, alors : $$ \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$
Ces règles s’appliquent également pour les limites à gauche ($x \to a^-$) et au voisinage de l’infini ($x \to \pm\infty$).
Remarque Importante
Il est crucial de n’appliquer cette règle qu’en présence d’une forme indéterminée. Si le quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ n’est pas une forme indéterminée, la limite du quotient des dérivées n’a en général aucune raison d’être égale à la limite du quotient initial. Par exemple, $\lim_{x \to 1} \frac{x^2}{2x+1} = \frac{1}{3}$, alors que $\lim_{x \to 1} \frac{(x^2)’}{(2x+1)’} = \lim_{x \to 1} \frac{2x}{2} = 1$.
Exemples d’Application
- Calcul de $\lim_{x \to 1} \frac{x^n-1}{x-1}$ (forme $\frac{0}{0}$) : $$ \lim_{x \to 1} \frac{x^n-1}{x-1} \overset{H}{=} \lim_{x \to 1} \frac{(x^n-1)’}{(x-1)’} = \lim_{x \to 1} \frac{nx^{n-1}}{1} = n $$
- Calcul de $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}$ (forme $\frac{\infty}{\infty}$) : $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} \overset{H}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x} \overset{H}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0 $$
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Transformation préalable pour la forme $\infty – \infty$ :
Pour calculer $\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x} – \frac{1}{e^x-1}\right)$, on réduit d’abord au même dénominateur pour obtenir la forme $\frac{0}{0}$ : $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)} \overset{H}{=} \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x-1}{e^x-1+xe^x} \overset{H}{=} \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x}{2e^x+xe^x} = \frac{1}{2} $$