1. Coordonnées dans un repère
Trois points O, I et J distincts non alignés définissent un repère $(O; I, J)$.
- Le point O est l’origine du repère.
- La droite (OI) est l’axe des abscisses.
- La droite (OJ) est l’axe des ordonnées.
Si on pose $\vec{i} = \vec{OI}$ et $\vec{j} = \vec{OJ}$, ce repère se note également $(O; \vec{i}, \vec{j})$. Le couple $(\vec{i}, \vec{j})$ est une base du plan.
Soit $(O; \vec{i}, \vec{j})$ un repère du plan.
- Pour tout point M, il existe un unique couple $(x, y)$ de réels tel que $\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}$. On note $M(x, y)$.
- Pour tout vecteur $\vec{u}$, il existe un unique couple $(x, y)$ de réels tel que $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$. On note $\vec{u}(x, y)$.
Soient $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ deux points du plan :
- Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(x_B – x_A, y_B – y_A)$.
- Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées $(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2})$.
- Si le repère est orthonormé, la distance AB est : $AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}$.
2. Colinéarité de deux vecteurs
Soient $\vec{u}(a, b)$ et $\vec{v}(a’, b’)$ deux vecteurs du plan. Le nombre $ab’ – a’b$ est appelé le déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\det(\vec{u}, \vec{v})$ ou $\begin{vmatrix} a & a’ \\ b & b’ \end{vmatrix}$.
$$ \det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} a & a’ \\ b & b’ \end{vmatrix} = ab’ – a’b $$Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$.
3. Équation cartésienne d’une droite
Dans un repère, toute droite (D) a une équation cartésienne de la forme $ax + by + c = 0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels, avec $(a, b) \neq (0, 0)$.
Le vecteur $\vec{u}(-b, a)$ est un vecteur directeur de la droite (D).
4. Représentation paramétrique d’une droite
Soit une droite (D) passant par le point $A(x_A, y_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a, b)$.
Un point $M(x, y)$ appartient à (D) si et seulement s’il existe un réel $t$ tel que $\vec{AM} = t\vec{u}$.
Cette relation se traduit par le système suivant, appelé représentation paramétrique de la droite (D) :
$$ \begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \end{cases}, t \in \mathbb{R} $$5. Position relative de deux droites
Soient (D) et ($\Delta$) deux droites de vecteurs directeurs respectifs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
- (D) et ($\Delta$) sont parallèles si et seulement si $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$.
- (D) et ($\Delta$) sont sécantes si et seulement si $\det(\vec{u}, \vec{v}) \neq 0$.
Étudier la position relative de (D) et ($\Delta$) et déterminer leur point d’intersection si elles sont sécantes.
Cas 1 : (D): $x + 2y = 3$ et ($\Delta$): $2x + y = 6$.
Cas 2 : (D): $x + y = 5$ et ($\Delta$): $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = -2 + 2t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.