Méthode utilisant directement l’Exponentielle
Soit une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dont le polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{R}$. Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ ses valeurs propres distinctes, de multiplicités respectives $m_1, \dots, m_r$. La solution générale du système $X'(t) = AX(t)$ peut être exprimée à l’aide des sous-espaces caractéristiques $N_i = Ker((A – \lambda_i I)^{m_i})$.
La solution générale s’écrit sous la forme : $$ X(t) = \sum_{i=1}^r e^{\lambda_i t} P_i(t) $$ où chaque $P_i(t)$ est un polynôme en $t$ de degré strictement inférieur à $m_i$, dont les coefficients sont des vecteurs du sous-espace caractéristique $N_i$.
Remarque
- Cas diagonalisable : Si la matrice $A$ est diagonalisable, la solution générale est une combinaison linéaire de solutions simples : $$ X(t) = \sum_{i=1}^r c_i e^{\lambda_i t} v_i $$ où les $v_i$ sont des vecteurs propres associés aux valeurs propres $\lambda_i$ et les $c_i$ sont des constantes déterminées par les conditions initiales.
- Cas non diagonalisable : Si $A$ n’est pas diagonalisable, la solution fait intervenir des termes polynomiaux en $t$. Pour chaque sous-espace caractéristique $N_i$, on peut trouver une base $(v_{i,1}, \dots, v_{i,m_i})$. La solution générale est alors une combinaison linéaire des solutions fondamentales de la forme : $$ X_{ij}(t) = e^{\lambda_i t} \sum_{k=0}^{m_i-1} \frac{t^k}{k!} (A – \lambda_i I)^k v_{i,j} $$
Méthode utilisant la Réduction de Jordan
Cette méthode consiste à simplifier le système en changeant de base. Soit $A$ une matrice dont le polynôme caractéristique est scindé. D’après le théorème de Jordan, il existe une matrice de passage inversible $P$ et une matrice de Jordan $J$ telles que $A = PJP^{-1}$.
On effectue le changement de variable $Y(t) = P^{-1}X(t)$. Le système différentiel $X'(t) = AX(t)$ devient : $$ Y'(t) = P^{-1}X'(t) = P^{-1}AX(t) = (P^{-1}AP)Y(t) = JY(t) $$ Le nouveau système $Y'(t) = JY(t)$ est beaucoup plus simple à résoudre car la matrice $J$ est triangulaire supérieure. On peut le résoudre de bas en haut, équation par équation. Une fois $Y(t)$ trouvé, on retrouve la solution originale par la relation $X(t) = PY(t)$.
Exemple
Considérons le système associé à la matrice $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$.
Le polynôme caractéristique est $\chi_A(X) = (X-1)(X-2)^2$. La matrice n’est pas diagonalisable. On trouve une matrice de Jordan $J$ et une matrice de passage $P$ : $$ J = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ On résout le système $Y'(t) = JY(t)$, soit : $$ \begin{cases} y’_1(t) = 2y_1(t) + y_2(t) \\ y’_2(t) = 2y_2(t) \\ y’_3(t) = y_3(t) \end{cases} $$ La résolution donne $y_3(t) = c_3 e^t$, $y_2(t) = c_2 e^{2t}$, et $y_1(t) = (c_1 + c_2 t)e^{2t}$.
Finalement, on obtient la solution $X(t) = PY(t)$, qui s’exprime en fonction des constantes $c_1, c_2, c_3$ (déterminées par les conditions initiales $X_0$).