Résoudre un système d’équations avec la méthode de Cramer
La méthode de Cramer est une technique directe pour résoudre les systèmes d’équations linéaires en utilisant des déterminants. Elle est particulièrement utile pour les systèmes ayant autant d’équations que d’inconnues (systèmes carrés) et qui possèdent une solution unique.
Soit un système de $n$ équations à $n$ inconnues, écrit sous forme matricielle $AX = B$ : $$ \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} $$
Si le déterminant de la matrice A, noté $\det(A)$, est non nul, alors le système admet une solution unique donnée par : $$ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} $$ pour $i=1, 2, \dots, n$.
La matrice $A_i$ est obtenue en remplaçant la $i$-ème colonne de A par le vecteur colonne B.
Exemple 1 : Système 2×2
Résolvons le système suivant : $$ \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x – 4y = -7 \end{cases} $$
1. Calcul du déterminant principal $\det(A)$ :
$ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} \implies \det(A) = 2(-4) – 3(1) = -8 – 3 = -11 $
Le déterminant est non nul, il y a une solution unique.
2. Calcul des déterminants $A_x$ et $A_y$ :
Pour $A_x$, on remplace la 1ère colonne de A par $B = \begin{pmatrix} 8 \\ -7 \end{pmatrix}$ :
$ A_x = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ -7 & -4 \end{pmatrix} \implies \det(A_x) = 8(-4) – 3(-7) = -32 + 21 = -11 $
Pour $A_y$, on remplace la 2ème colonne de A par B :
$ A_y = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 1 & -7 \end{pmatrix} \implies \det(A_y) = 2(-7) – 8(1) = -14 – 8 = -22 $
3. Solution :
$x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-11}{-11} = 1$
$y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-22}{-11} = 2$
La solution est donc (x, y) = (1, 2).
Exemple 2 : Système 3×3
Résolvons le système : $$ \begin{cases} x + 2z = 9 \\ 2x + y – z = 4 \\ -x – 2y + 3z = 1 \end{cases} $$
1. Déterminant principal : $ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \implies \det(A) = (3+0-8) – (-2+2+0) = -5 $
2. Déterminants secondaires :
$ A_x = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \implies \det(A_x) = (27+0-16) – (2+18+0) = 11 – 20 = -9 $
$ A_y = \begin{pmatrix} 1 & 9 & 2 \\ 2 & 4 & -1 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \implies \det(A_y) = (12+9+4) – (-8-1+54) = 25 – 45 = -20 $
$ A_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 9 \\ 2 & 1 & 4 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \implies \det(A_z) = (1+0-36) – (-9-8+0) = -35 – (-17) = -18 $
3. Solution :
$x = \frac{-9}{-5} = 9/5$
$y = \frac{-20}{-5} = 4$
$z = \frac{-18}{-5} = 18/5$
Exemple 3 : Cas où le déterminant est nul
Soit le système :
$$ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 6 \end{cases} $$Calculons le déterminant principal :
$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \implies \det(A) = 1(4) – 2(2) = 4 – 4 = 0 $
Le déterminant est nul. La méthode de Cramer ne s’applique pas car elle mènerait à une division par zéro. Cela signifie que le système n’a pas de solution unique. Il peut avoir soit une infinité de solutions (si les équations sont dépendantes, comme ici où $L_2 = 2L_1$), soit aucune solution (si les équations sont incompatibles).