Savoir si une Matrice est Inversible Sans Calculer son Déterminant
Le test classique pour l’inversibilité d’une matrice carrée est de vérifier si son déterminant est non nul. Cependant, pour de grandes matrices, ce calcul peut être lourd. Heureusement, il existe d’autres méthodes, souvent plus rapides et plus riches en informations.
Pour une matrice carrée $A$ de taille $n \times n$, les affirmations suivantes sont toutes équivalentes. Si l’une est vraie, toutes les autres le sont aussi.
- La matrice $A$ est inversible.
- Le rang de $A$ est égal à $n$.
- Le noyau (ou kernel) de $A$ est réduit au vecteur nul : $\text{Ker}(A) = \{0\}$.
- Les vecteurs colonnes de $A$ forment une famille libre (et donc une base).
- Les vecteurs lignes de $A$ forment une famille libre (et donc une base).
- L’équation $AX=0$ a pour unique solution $X=0$.
- Pour tout vecteur $B$, l’équation $AX=B$ a une unique solution.
- $0$ n’est pas une valeur propre de $A$.
Exemple 1 : Test par le Rang
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$. Cette matrice est-elle inversible ?
On calcule son rang en l’échelonnant avec le pivot de Gauss.
$L_2 \leftarrow L_2 – L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 – 2L_1$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
$L_3 \leftarrow L_3 – L_2$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
La matrice échelonnée a 3 pivots. Le rang de $A$ est donc 3.
Comme la taille de la matrice est 3×3, son rang est plein.
Conclusion : La matrice A est inversible.
Exemple 2 : Test par le Noyau
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Est-elle inversible ?
On cherche le noyau en résolvant le système homogène $AX=0$.
$\begin{cases} x + 2y + 3z = 0 \\ x + y + 2z = 0 \\ y + z = 0 \end{cases}$
De la troisième ligne, on tire $y = -z$.
En remplaçant dans la deuxième ligne : $x + (-z) + 2z = 0 \implies x + z = 0 \implies x = -z$.
Vérifions avec la première ligne : $(-z) + 2(-z) + 3z = -3z + 3z = 0$. L’équation est compatible.
Les solutions sont de la forme $(-z, -z, z) = z(-1, -1, 1)$. Le noyau est la droite vectorielle engendrée par le vecteur $(-1, -1, 1)$.
Comme le noyau n’est pas réduit au vecteur nul, la matrice n’est pas injective.
Conclusion : La matrice A n’est pas inversible.
Exemple 3 : Test par l’Indépendance Linéaire
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \end{pmatrix}$. Est-elle inversible ?
On examine les vecteurs colonnes $C_1 = (1,2,3)$, $C_2=(0,1,1)$, $C_3=(2,5,7)$.
On essaie de voir si une colonne est une combinaison linéaire des autres.
Cherchons s’il existe $a, b$ tels que $C_3 = aC_1 + bC_2$.
$\begin{cases} 2 = a \cdot 1 + b \cdot 0 \\ 5 = a \cdot 2 + b \cdot 1 \\ 7 = a \cdot 3 + b \cdot 1 \end{cases}$
La première ligne donne immédiatement $a=2$.
En remplaçant dans la deuxième ligne : $5 = 2(2) + b \implies 5 = 4 + b \implies b=1$.
Vérifions avec la troisième ligne : $7 = 2(3) + 1 = 6+1=7$. Ça marche.
On a trouvé la relation de dépendance $C_3 = 2C_1 + C_2$.
Les colonnes de la matrice sont liées.
Conclusion : La matrice A n’est pas inversible.