Sous-groupe Engendré par une Partie
Étant donné une partie quelconque d’un groupe, on peut se demander quel est le plus petit sous-groupe qui la contient. Cette construction est fondamentale car elle permet de construire des sous-groupes à partir d’un ensemble d’éléments « générateurs ».
Soit $(G, \star)$ un groupe et $A$ une partie non vide de $G$.
Le sous-groupe engendré par $A$, noté $\langle A \rangle$, est le plus petit sous-groupe de $G$ qui contient la partie $A$.
Plus formellement, c’est l’intersection de tous les sous-groupes de $G$ qui contiennent $A$.
Le sous-groupe engendré par $A$ est l’ensemble de tous les produits finis d’éléments de $A$ et de leurs symétriques.
Un élément $x$ est dans $\langle A \rangle$ si et seulement s’il peut s’écrire sous la forme :
$$ x = a_1^{\epsilon_1} \star a_2^{\epsilon_2} \star \dots \star a_n^{\epsilon_n} $$
où $n \ge 1$, chaque $a_i$ est un élément de $A$, et chaque $\epsilon_i$ vaut 1 ou -1.
Cas Particuliers Importants
- Partie génératrice d’un groupe : Si $\langle A \rangle = G$, on dit que $A$ est une partie génératrice de $G$.
- Groupe monogène et cyclique : Si $A = \{a\}$ est un singleton, le sous-groupe engendré $\langle \{a\} \rangle$ (noté simplement $\langle a \rangle$) est l’ensemble des puissances de $a$. C’est le plus petit sous-groupe contenant $a$. Si $G = \langle a \rangle$, on dit que $G$ est un groupe monogène (et s’il est fini, cyclique).
Exemples
- Dans $(\mathbb{Z}, +)$ : Le sous-groupe engendré par $\{6, 10\}$ est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires $6u + 10v$ avec $u, v \in \mathbb{Z}$. Par le théorème de Bézout, cet ensemble est $PGCD(6, 10)\mathbb{Z} = 2\mathbb{Z}$.
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Dans le groupe des permutations $(\mathcal{S}_3, \circ)$ :
- Le sous-groupe engendré par la transposition $\tau = (1 \ 2)$ est $\langle \tau \rangle = \{Id, (1 \ 2)\}$, qui est d’ordre 2.
- Le sous-groupe engendré par le cycle $\sigma = (1 \ 2 \ 3)$ est $\langle \sigma \rangle = \{Id, (1 \ 2 \ 3), (1 \ 3 \ 2)\}$, qui est d’ordre 3.