Statistique
1. Vocabulaire et Paramètres de Position
1.1 Variable statistique quantitative
Activité 1 : Notes d’élèves
Les notes de 20 élèves d’une classe de tronc commun à un devoir sont :
11, 10, 11, 15, 10, 11, 8, 11, 12, 7, 15, 8, 10, 12, 11, 12, 17, 15, 7, 17
- Population : Les élèves de la classe. Variable statistique : La note (quantitative discrète).
- Effectif total (N) : 20 élèves.
- Tableau statistique :
Note $x_i$ 7 8 10 11 12 15 17 Effectif $n_i$ 2 2 3 5 3 3 2 Effectif cumulé $N_i$ 2 4 7 12 15 18 20 Fréquence $f_i$ 0.1 0.1 0.15 0.25 0.15 0.15 0.1 Pourcentage $p_i$ 10% 10% 15% 25% 15% 15% 10% - Moyenne arithmétique ($\bar{x}$) : $\frac{\sum n_i x_i}{N} = \frac{2\cdot7 + 2\cdot8 + 3\cdot10 + 5\cdot11 + 3\cdot12 + 3\cdot15 + 2\cdot17}{20} = \frac{230}{20} = 11.5$
- Médiane (Me) : L’effectif total est 20 (pair). La médiane est la moyenne entre la 10ème et la 11ème valeur. D’après les effectifs cumulés, ces deux valeurs sont 11. Donc, Me = 11.
- Mode (Mo) : La note avec le plus grand effectif (5) est 11. Donc, Mo = 11.
1.2 Variable statistique qualitative
Activité 2 : Situation familiale
La situation familiale des 300 abonnés d’un club de sport est donnée comme suit :
| Situation familiale | Célibataire | Marié | Divorcé | Veuf |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 148 | 120 | 22 | 10 |
- Population : Les abonnés du club. Variable statistique : La situation familiale (qualitative).
- Effectif total (N) : 300.
- Tableau statistique :
Situation Effectif $n_i$ Fréquence $f_i$ Angle (°) Célibataire 148 0.493 177.5° Marié 120 0.400 144.0° Divorcé 22 0.073 26.4° Veuf 10 0.033 12.0° - Construire le diagramme en barres et le diagramme circulaire.
2. Paramètres de Dispersion
Définitions
- L’étendue : C’est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur du caractère.
- La variance (V) : C’est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne arithmétique. $$ V = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{p} n_i (x_i – \bar{x})^2 = \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{p} n_i x_i^2 \right) – (\bar{x})^2 $$
- L’écart-type ($\sigma$) : C’est la racine carrée de la variance. Il a la même unité que la variable. $$ \sigma = \sqrt{V} $$
Exemple de calcul
Le tableau suivant représente le nombre d’enfants chez 30 familles :
| Nombre d’enfants $x_i$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de familles $n_i$ | 6 | 5 | 8 | 5 | 6 |
Moyenne arithmétique : $\bar{x} = \frac{6 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 8 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 4}{30} = \frac{60}{30} = 2$.
Variance :
$V = \frac{1}{30} [6(0-2)^2 + 5(1-2)^2 + 8(2-2)^2 + 5(3-2)^2 + 6(4-2)^2]$
$V = \frac{1}{30} [6(4) + 5(1) + 8(0) + 5(1) + 6(4)] = \frac{24+5+0+5+24}{30} = \frac{58}{30} \approx 1.93$
Écart-type : $\sigma = \sqrt{V} \approx \sqrt{1.93} \approx 1.39$.