Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite numérique.
- On dit que la suite $(u_n)$ est majorée s’il existe un réel $M$ tel que pour tout entier $n$, $u_n \le M$.
- On dit que la suite $(u_n)$ est minorée s’il existe un réel $m$ tel que pour tout entier $n$, $u_n \ge m$.
- On dit que la suite $(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Cela équivaut à l’existence d’un réel positif $M$ tel que pour tout entier $n$, $|u_n| \le M$.
Toute suite convergente est nécessairement bornée.
Démonstration
Soit $(u_n)$ une suite qui converge vers une limite finie $l$. Appliquons la définition de la convergence avec une valeur de $\epsilon$ fixée, par exemple $\epsilon=1$.
Il existe alors un rang $N \in \mathbb{N}$ à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l’intervalle $]l-1, l+1[$. Formellement, pour tout $n \ge N$, on a $|u_n – l| \le 1$.
En utilisant l’inégalité triangulaire, on peut majorer la valeur absolue de ces termes : $$ \forall n \ge N, \quad |u_n| = |u_n – l + l| \le |u_n – l| + |l| \le 1 + |l| $$ Les termes de la suite sont donc majorés en valeur absolue par $1+|l|$ à partir du rang $N$. Les termes précédents, $u_0, u_1, \dots, u_{N-1}$, forment un ensemble fini de valeurs.
On peut donc définir un majorant global $M$ pour la suite entière en prenant le plus grand de ces nombres : $$ M = \max(|u_0|, |u_1|, \dots, |u_{N-1}|, 1+|l|) $$ On a bien $|u_n| \le M$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, ce qui prouve que la suite est bornée.
Remarque
La réciproque de cette propriété est fausse. Une suite peut être bornée sans être convergente.
Exemple
La suite de terme général $u_n = (-1)^n$ est bornée, car pour tout $n$, $|u_n| = 1 \le 1$. Cependant, elle ne converge pas, car elle oscille indéfiniment entre les valeurs -1 et 1.