Suites Arithmétiques
Une suite $(u_n)$ est dite arithmétique s’il existe un réel $r$ tel que, pour tout entier naturel $n$ : $$ u_{n+1} – u_n = r $$ Le nombre réel $r$ est appelé la raison de la suite arithmétique.
Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$ u_n = u_0 + nr $$
Remarque
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.
- Si $r=0$, la suite est constante.
- Si $r>0$, la suite est strictement croissante.
- Si $r<0$, la suite est strictement décroissante.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique. La somme de ses $n+1$ premiers termes est donnée par : $$ S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n+1) \frac{u_0 + u_n}{2} $$
Exemples
- Pour la suite $u_n=n$, la somme des $n$ premiers entiers est $S_n = 1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}$.
- Pour la suite des entiers impairs $u_n=2n+1$ (avec $u_0=1$), la somme est $S_n = 1+3+\dots+(2n+1) = (n+1)^2$.
Suites Géométriques
Une suite $(u_n)$ est dite géométrique s’il existe un réel $q$ tel que, pour tout entier naturel $n$ : $$ u_{n+1} = q u_n $$ Le nombre réel $q$ est appelé la raison de la suite géométrique.
(Dans la suite, on supposera $q \neq 0$ pour éviter les cas triviaux).
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$. Alors pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$ u_n = q^n u_0 $$
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$. La somme de ses $n+1$ premiers termes est :
- Si $q=1$, $S_n = (n+1)u_0$.
- Si $q \neq 1$, $S_n = u_0 \frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}$.
En particulier, si $|q|<1$, la série des termes converge et sa somme est $S = \lim_{n\to+\infty} S_n = \frac{u_0}{1-q}$.