Une suite réelle $(u_n)$ est dite de Cauchy si ses termes deviennent arbitrairement proches les uns des autres à partir d’un certain rang. Formellement : $$ \forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tel que } \forall p \ge q \ge n_0, \quad |u_p – u_q| \le \epsilon $$
Dans l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$, une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente. $$ (u_n) \text{ est de Cauchy} \iff (u_n) \text{ converge} $$
Démonstration
($\impliedby$) Convergente $\implies$ de Cauchy :
Supposons que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $a$. Soit $\epsilon > 0$. Par définition de la convergence, il existe un rang $n_0$ tel que pour tout $k \ge n_0$, on a $|u_k – a| \le \epsilon/2$.
Alors, pour tous entiers $p \ge q \ge n_0$, on peut utiliser l’inégalité triangulaire :
$$ |u_p – u_q| = |u_p – a + a – u_q| \le |u_p – a| + |a – u_q| \le \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon $$
La suite est donc bien de Cauchy.
($\implies$) de Cauchy $\implies$ Convergente :
Cette implication est une propriété fondamentale de $\mathbb{R}$, connue sous le nom de complétude. Soit $(u_n)$ une suite de Cauchy.
- La suite est bornée : En appliquant la définition de Cauchy avec $\epsilon=1$, on trouve un rang $n_0$ tel que pour tout $p \ge n_0$, $|u_p – u_{n_0}| \le 1$. Par l’inégalité triangulaire, $|u_p| \le 1 + |u_{n_0}|$. L’ensemble des termes de la suite est donc majoré en valeur absolue par $\max(|u_0|, \dots, |u_{n_0-1}|, 1+|u_{n_0}|)$. La suite est donc bornée.
- Existence d’une sous-suite convergente : Puisque $(u_n)$ est bornée, le théorème de Bolzano-Weierstrass garantit l’existence d’une sous-suite $(u_{\varphi(n)})$ qui converge vers une limite $a$.
- Convergence de la suite entière : Montrons que la suite $(u_n)$ converge elle-même vers $a$. Soit $\epsilon > 0$. Comme $(u_n)$ est de Cauchy, il existe un rang $n_0$ tel que pour tous $p,q \ge n_0$, $|u_p – u_q| \le \epsilon/2$. Comme la sous-suite converge vers $a$, il existe un rang $n_1$ tel que pour tout $n \ge n_1$, $|u_{\varphi(n)} – a| \le \epsilon/2$. Soit $N = \max(n_0, n_1)$. Pour tout $n \ge N$, on a : $$ |u_n – a| \le |u_n – u_{\varphi(n)}| + |u_{\varphi(n)} – a| $$ Puisque $\varphi$ est strictement croissante, $\varphi(n) \ge n \ge N$. Les deux indices $n$ et $\varphi(n)$ sont donc supérieurs à $n_0$, ce qui rend le premier terme $\le \epsilon/2$. Le second terme est aussi $\le \epsilon/2$ car $n \ge n_1$. On a donc $|u_n – a| \le \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon$. La suite $(u_n)$ converge bien vers $a$.