Suites Extraites ou Sous-suites
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite. On appelle suite extraite (ou sous-suite) de $(u_n)$ toute suite de la forme $(u_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$, où $\varphi: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ est une application strictement croissante.
Remarque
Si $\varphi: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ est une application strictement croissante, on peut montrer par une simple récurrence que pour tout entier $n$, on a $\varphi(n) \ge n$.
Une suite $(u_n)$ converge vers une limite $l$ si et seulement si toute suite extraite de $(u_n)$ converge vers cette même limite $l$.
Démonstration
($\implies$) Supposons que $(u_n)$ converge vers $l$. Soit $\epsilon > 0$. Par définition, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \ge N$, $|u_n – l| < \epsilon$. Soit $(u_{\varphi(n)})$ une suite extraite. Comme $\varphi$ est strictement croissante, on a $\varphi(n) \ge n$. Donc, si $n \ge N$, on a aussi $\varphi(n) \ge N$, ce qui implique $|u_{\varphi(n)} - l| < \epsilon$. La suite extraite converge bien vers $l$.
($\impliedby$) La réciproque est évidente : il suffit de considérer la suite extraite correspondant à $\varphi(n)=n$, qui est la suite elle-même.
Une suite $(u_n)$ est divergente si elle admet au moins une sous-suite divergente, ou si elle admet au moins deux sous-suites qui convergent vers des limites distinctes.
Exemple
La suite $u_n = (-1)^n$ est divergente. En effet, la sous-suite des termes pairs, $(u_{2n}) = ((-1)^{2n}) = (1)$, converge vers 1. La sous-suite des termes impairs, $(u_{2n+1}) = ((-1)^{2n+1}) = (-1)$, converge vers -1. Puisque nous avons trouvé deux sous-suites convergeant vers des limites différentes, la suite initiale diverge.
Toute suite réelle bornée admet au moins une sous-suite convergente.
Suites Adjacentes
On dit que deux suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si elles vérifient les trois conditions suivantes :
- L’une est croissante (par exemple, $(u_n)$).
- L’autre est décroissante (par exemple, $(v_n)$).
- La suite différence $(v_n – u_n)$ converge vers 0.
Si deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes, alors elles convergent et elles ont la même limite.
Démonstration
Supposons $(u_n)$ croissante et $(v_n)$ décroissante. Montrons d’abord que $u_n \le v_n$ pour tout $n$. Raisonnons par l’absurde : s’il existait un rang $N$ tel que $u_N > v_N$, alors pour tout $n \ge N$, on aurait $u_n \ge u_N$ et $v_n \le v_N$. Cela impliquerait $u_n – v_n \ge u_N – v_N > 0$, ce qui contredit le fait que la différence tend vers 0.
On a donc la suite d’inégalités : $u_0 \le u_1 \le \dots \le u_n \le v_n \le \dots \le v_1 \le v_0$.
- La suite $(u_n)$ est croissante et majorée (par $v_0$), donc elle converge vers une limite $l$.
- La suite $(v_n)$ est décroissante et minorée (par $u_0$), donc elle converge vers une limite $l’$.
Enfin, la suite $(v_n – u_n)$ converge vers $l’ – l$. Par hypothèse, cette limite est 0. On a donc $l=l’$.