Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite numérique.
- On dit que la suite $(u_n)$ est croissante si pour tout entier $n$, $u_{n+1} \ge u_n$.
- On dit que la suite $(u_n)$ est décroissante si pour tout entier $n$, $u_{n+1} \le u_n$.
- On dit que la suite $(u_n)$ est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.
- Toute suite croissante et majorée est convergente.
- Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Remarque
- Une suite croissante qui n’est pas majorée diverge vers $+\infty$.
- Une suite décroissante qui n’est pas minorée diverge vers $-\infty$.
Démonstration
Démontrons le premier point (le second se prouve de manière analogue). Soit $(u_n)$ une suite croissante et majorée.
Considérons l’ensemble $A = \{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ des valeurs de la suite. Cet ensemble est une partie non vide de $\mathbb{R}$. Puisque la suite est majorée par un réel $M$, l’ensemble $A$ est également majoré par $M$.
D’après l’axiome de la borne supérieure, toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure. Notons $l = \sup(A)$. Nous allons montrer que la suite $(u_n)$ converge vers $l$.
Soit $\epsilon > 0$. Par la caractérisation de la borne supérieure, $l-\epsilon$ n’est pas un majorant de $A$. Il existe donc au moins un terme de la suite, disons $u_{N_0}$, tel que $l-\epsilon < u_{N_0} \le l$.
Puisque la suite $(u_n)$ est croissante, pour tout entier $n \ge N_0$, on a $u_{N_0} \le u_n$. De plus, comme $l$ est un majorant de $A$, on a $u_n \le l$. En combinant ces inégalités, on obtient : $$ \forall n \ge N_0, \quad l-\epsilon < u_{N_0} \le u_n \le l $$ Cela implique que pour tout $n \ge N_0$, on a $|u_n - l| \le \epsilon$. Ceci est précisément la définition de la convergence de $(u_n)$ vers $l$.