Cette section présente une approche pratique pour déterminer la forme réduite de Jordan d’un endomorphisme $u$ sur un K-espace vectoriel $E$ de petite dimension $n$. On suppose que son polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé sur $K$.
Cas où n = 2
Le polynôme caractéristique est de degré 2.
- $\chi_u(X) = (X-\lambda_1)(X-\lambda_2)$ avec $\lambda_1 \neq \lambda_2$ : L’endomorphisme a deux valeurs propres distinctes, il est donc diagonalisable. Sa forme de Jordan est $\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$.
- $\chi_u(X) = (X-\lambda)^2$ : L’endomorphisme a une unique valeur propre $\lambda$.
- Si $u$ est diagonalisable (ce qui arrive si $u = \lambda Id_E$), sa forme de Jordan est $\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$.
- Sinon, $u$ n’est pas diagonalisable. On cherche un vecteur $v_2$ tel que $(u-\lambda Id_E)(v_2) \neq 0$. On pose $v_1 = (u-\lambda Id_E)(v_2)$. La famille $(v_1, v_2)$ est une base de Jordan et la matrice de $u$ dans cette base est $\begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$.
Cas où n = 3
Le polynôme caractéristique est de degré 3.
$\chi_u(X) = (X-\lambda_1)(X-\lambda_2)(X-\lambda_3)$ avec $\lambda_i$ distincts
L’endomorphisme a trois valeurs propres distinctes, il est donc diagonalisable. Sa forme de Jordan est $\text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$.
$\chi_u(X) = (X-\lambda_1)^2(X-\lambda_2)$ avec $\lambda_1 \neq \lambda_2$
On s’intéresse à la dimension du sous-espace propre $E_{\lambda_1} = Ker(u-\lambda_1 Id_E)$.
- Si $\dim(E_{\lambda_1})=2$, l’endomorphisme est diagonalisable. Sa forme de Jordan est $\text{diag}(\lambda_1, \lambda_1, \lambda_2)$.
- Si $\dim(E_{\lambda_1})=1$, $u$ n’est pas diagonalisable. On trouve une base de Jordan $(v_1, v_2)$ pour la restriction de $u$ au sous-espace caractéristique $N_1 = Ker((u-\lambda_1 Id_E)^2)$, et on la complète avec un vecteur propre $v_3$ de $E_{\lambda_2}$. La forme de Jordan est $\begin{pmatrix} \lambda_1 & 1 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$.
$\chi_u(X) = (X-\lambda)^3$
On s’intéresse à la dimension du sous-espace propre $E_\lambda = Ker(u-\lambda Id_E)$.
- Si $\dim(E_\lambda)=3$, $u = \lambda Id_E$ est diagonal.
- Si $\dim(E_\lambda)=2$, l’indice de nilpotence de $(u-\lambda Id_E)$ est 2. On trouve une base de Jordan en choisissant $v_2 \notin E_\lambda$ et $v_3 \in E_\lambda$ indépendant de $v_1 = (u-\lambda Id_E)(v_2)$. La forme de Jordan est $\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$.
- Si $\dim(E_\lambda)=1$, l’indice de nilpotence de $(u-\lambda Id_E)$ est 3. On choisit $v_3$ tel que $(u-\lambda Id_E)^2(v_3) \neq 0$. On pose $v_2=(u-\lambda Id_E)(v_3)$ et $v_1=(u-\lambda Id_E)(v_2)$. La forme de Jordan est $\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$.
Cas où n = 4
La méthode est similaire et dépend de la factorisation de $\chi_u(X)$ et des dimensions des sous-espaces propres.
- $\chi_u = (X-\lambda)^4$ : La forme de Jordan dépend de $\dim(E_\lambda)$, qui peut être 1, 2, 3 ou 4, déterminant le nombre et la taille des blocs.
- $\chi_u = (X-\lambda_1)^3(X-\lambda_2)$ : La diagonalisabilité dépend de $\dim(E_{\lambda_1})$. Si elle est de 1 ou 2, on a un ou plusieurs blocs de Jordan pour $\lambda_1$.
- $\chi_u = (X-\lambda_1)^2(X-\lambda_2)^2$ : La diagonalisabilité dépend des dimensions de $E_{\lambda_1}$ et $E_{\lambda_2}$.
- $\chi_u = (X-\lambda_1)^2(X-\lambda_2)(X-\lambda_3)$ : La diagonalisabilité dépend de $\dim(E_{\lambda_1})$.
- $\chi_u = (X-\lambda_1)(X-\lambda_2)(X-\lambda_3)(X-\lambda_4)$ : L’endomorphisme est toujours diagonalisable.