Contexte : Suites Bornées et Sous-suites
En analyse, on étudie le comportement des suites de nombres réels.
- Une suite $(u_n)$ est dite bornée s’il existe un nombre réel $M$ tel que $|u_n| \le M$ pour tous les termes de la suite. Géométriquement, tous les termes de la suite sont contenus dans un segment $[-M, M]$.
- Une sous-suite (ou suite extraite) est une suite formée en ne gardant que certains termes de la suite originale, tout en respectant leur ordre d’apparition. Par exemple, la suite des termes pairs est une sous-suite.
Une suite bornée n’est pas nécessairement convergente (par exemple, la suite $u_n = (-1)^n$). Le théorème de Bolzano-Weierstrass garantit cependant qu’on peut toujours y trouver une « partie » qui converge.
Théorème de Bolzano-Weierstrass
De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.
Une autre version équivalente du théorème est : tout sous-ensemble infini et borné de $\mathbb{R}$ admet au moins un point d’accumulation.
Démonstration (par dichotomie)
La démonstration est une construction élégante qui utilise la méthode des intervalles emboîtés.
- Mise en place : Soit $(u_n)$ une suite bornée. Il existe donc un segment $[a_0, b_0]$ qui contient tous les termes de la suite.
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Construction par récurrence : On va construire une suite de segments emboîtés $[a_k, b_k]$ de la manière suivante :
- On coupe le segment $[a_0, b_0]$ en son milieu. Au moins l’une des deux moitiés, $[a_0, \frac{a_0+b_0}{2}]$ ou $[\frac{a_0+b_0}{2}, b_0]$, doit contenir une infinité de termes de la suite $(u_n)$. On choisit cette moitié et on la nomme $[a_1, b_1]$.
- On recommence le processus : on coupe $[a_1, b_1]$ en son milieu et on choisit une moitié, que l’on nomme $[a_2, b_2]$, qui contient encore une infinité de termes de la suite.
- On continue ainsi indéfiniment. À l’étape $k$, on a un segment $[a_k, b_k]$ de longueur $\frac{b_0-a_0}{2^k}$ qui contient une infinité de termes de la suite.
- Convergence des bornes : La suite $(a_k)$ est croissante et majorée (par $b_0$), elle converge donc vers une limite $l$. La suite $(b_k)$ est décroissante et minorée (par $a_0$), elle converge donc vers une limite $l’$. Comme la longueur des segments $b_k-a_k$ tend vers 0, on a $l=l’$.
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Extraction de la sous-suite : On construit maintenant la sous-suite convergente.
- On choisit un premier terme $u_{\varphi(0)}$ dans le segment $[a_0, b_0]$.
- On choisit un deuxième terme $u_{\varphi(1)}$ dans le segment $[a_1, b_1]$ avec un indice $\varphi(1) > \varphi(0)$. C’est possible car $[a_1, b_1]$ contient une infinité de termes.
- On choisit un terme $u_{\varphi(k)}$ dans le segment $[a_k, b_k]$ avec un indice $\varphi(k) > \varphi(k-1)$.
- Conclusion : D’après le théorème des gendarmes, puisque les suites $(a_k)$ et $(b_k)$ convergent toutes deux vers $l$, la sous-suite $(u_{\varphi(k)})$ qui est « prise en sandwich » entre elles doit également converger vers $l$.
Implications et Utilisation
- Compacité : Ce théorème est une propriété caractéristique des ensembles compacts. En fait, une partie de $\mathbb{R}^n$ est compacte si et seulement si de toute suite de ses points on peut extraire une sous-suite convergente (vers un point de l’ensemble).
- Fondement de l’Analyse : C’est un résultat essentiel pour démontrer de nombreux autres théorèmes importants de l’analyse, comme le fait qu’une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
- Complétude de $\mathbb{R}$ : Le théorème de Bolzano-Weierstrass est intimement lié à la complétude de l’ensemble des nombres réels. Il n’est pas vrai, par exemple, dans l’ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$.