Ce théorème concerne les applications continues depuis une sphère vers un espace de dimension inférieure.
- Une n-sphère, notée $S^n$, est la généralisation d’une sphère en dimension supérieure. Par exemple, $S^1$ est un cercle et $S^2$ est la surface d’une sphère ordinaire dans notre espace à 3 dimensions.
- Des points antipodaux sont deux points sur une sphère qui sont diamétralement opposés. Par exemple, le pôle Nord et le pôle Sud sont des points antipodaux sur la Terre. Si un point est représenté par un vecteur $x$, son antipode est $-x$.
Le théorème de Borsuk-Ulam établit une propriété surprenante sur ce qui se passe lorsqu’on associe une valeur (ou un ensemble de valeurs) à chaque point d’une sphère.
Toute application continue d’une n-sphère $S^n$ dans l’espace euclidien de dimension n ($\mathbb{R}^n$) envoie au moins une paire de points antipodaux sur la même image.
Formellement, si $f: S^n \to \mathbb{R}^n$ est une fonction continue, alors il existe un point $x \in S^n$ tel que $f(x) = f(-x)$.
Interprétation et Exemples Célèbres
Le théorème est assez abstrait, mais ses conséquences sont très concrètes et étonnantes.
- Météo sur la Terre (cas n=2) : C’est l’exemple le plus célèbre. On modélise la surface de la Terre par une sphère $S^2$. À chaque point de la surface, on peut associer deux valeurs continues : la température et la pression atmosphérique. Ces deux valeurs forment un point dans le plan $\mathbb{R}^2$. Le théorème de Borsuk-Ulam nous garantit qu’à n’importe quel instant, il existe deux points diamétralement opposés sur la Terre qui ont exactement la même température ET la même pression.
- Le voleur de jambon (Théorème du sandwich au jambon) : Une conséquence du théorème est que l’on peut toujours couper trois objets dans l’espace (un sandwich composé de pain, jambon, fromage) d’un seul coup de couteau (un plan) de manière à diviser chacun des trois objets en deux moitiés de volume égal.
- Le problème du collier : Il est toujours possible de partager un collier ouvert, composé de perles de différentes couleurs, entre deux voleurs en faisant au maximum $k$ coupes, où $k$ est le nombre de couleurs de perles.
Lien avec d’autres théorèmes
Le théorème de Borsuk-Ulam est un résultat très puissant en topologie algébrique, et il est en fait plus « fort » que d’autres théorèmes célèbres.
- Il peut être utilisé pour démontrer le théorème du point fixe de Brouwer.
- Il est équivalent au théorème de Lusternik-Schnirelmann, qui affirme que si une sphère est recouverte par $n+1$ ensembles fermés, alors au moins un de ces ensembles doit contenir une paire de points antipodaux.