Le théorème de Ceva s’intéresse à la question de la concourance de trois droites particulières dans un triangle.
- Une cévienne d’un triangle est un segment de droite qui relie un sommet du triangle à un point du côté opposé.
- Les médianes, les hauteurs, les bissectrices sont des exemples de céviennes.
- Le théorème de Ceva donne une condition nécessaire et suffisante pour que trois céviennes, issues de chacun des trois sommets, soient concourantes (c’est-à-dire qu’elles se coupent en un seul et même point).
Soit un triangle $ABC$. Soient $D$, $E$, et $F$ des points sur les côtés (ou leurs prolongements) $[BC]$, $[CA]$, et $[AB]$ respectivement, distincts des sommets.
Les céviennes $(AD)$, $(BE)$ et $(CF)$ sont concourantes (ou parallèles) si et seulement si : $$ \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1 $$
Il s’agit d’un produit de rapports de longueurs orientées (ou algébriques), mais dans la plupart des cas où les points sont à l’intérieur des segments, on peut utiliser les longueurs géométriques.
Idée d’une Démonstration (par les aires)
Une des preuves les plus classiques utilise les rapports d’aires de triangles.
- Rapport de longueurs et rapport d’aires : On utilise la propriété que le rapport des aires de deux triangles de même hauteur est égal au rapport de leurs bases.
- On exprime le rapport $\frac{AF}{FB}$ en utilisant les aires des triangles $\triangle AFC$ et $\triangle BFC$, puis des triangles $\triangle APF$ et $\triangle BPF$ (où $P$ est le point de concours). $$ \frac{AF}{FB} = \frac{\text{Aire}(\triangle AFC)}{\text{Aire}(\triangle BFC)} = \frac{\text{Aire}(\triangle APF)}{\text{Aire}(\triangle BPF)} $$
- Par une propriété des fractions, ce rapport est aussi égal à : $$ \frac{AF}{FB} = \frac{\text{Aire}(\triangle AFC) – \text{Aire}(\triangle APF)}{\text{Aire}(\triangle BFC) – \text{Aire}(\triangle BPF)} = \frac{\text{Aire}(\triangle APC)}{\text{Aire}(\triangle BPC)} $$
- Permutation circulaire : On fait de même pour les deux autres rapports : $$ \frac{BD}{DC} = \frac{\text{Aire}(\triangle APB)}{\text{Aire}(\triangle APC)} \quad \text{et} \quad \frac{CE}{EA} = \frac{\text{Aire}(\triangle BPC)}{\text{Aire}(\triangle APB)} $$
- Conclusion : En multipliant les trois égalités, les aires s’annulent deux à deux : $$ \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = \frac{\text{Aire}(\triangle APC)}{\text{Aire}(\triangle BPC)} \cdot \frac{\text{Aire}(\triangle APB)}{\text{Aire}(\triangle APC)} \cdot \frac{\text{Aire}(\triangle BPC)}{\text{Aire}(\triangle APB)} = 1 $$
Applications Fondamentales
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Points remarquables du triangle : Ce théorème fournit une preuve unifiée et très élégante de la concourance des droites remarquables du triangle.
- Médianes : Si $(AD)$, $(BE)$, $(CF)$ sont les médianes, alors $AF=FB$, $BD=DC$, $CE=EA$. Chaque rapport vaut 1, et leur produit est 1. Les médianes sont donc concourantes (au centre de gravité).
- Bissectrices : Le théorème de la bissectrice nous donne les rapports. Leur produit vaut 1, prouvant la concourance (au centre du cercle inscrit).
- Hauteurs : En utilisant des relations trigonométriques, on montre que le produit des rapports vaut également 1, prouvant la concourance (à l’orthocentre).