Théorème de Desargues

Contexte : Triangles en Perspective

Le théorème de Desargues relie deux manières différentes pour deux triangles d’être « en perspective ».

Deux triangles $ABC$ et $A’B’C’$ sont dits en perspective par rapport à un point (ou homologiques) si les droites joignant les sommets correspondants $(AA’)$, $(BB’)$ et $(CC’)$ sont concourantes en un même point $O$, appelé centre de perspective.
Deux triangles sont dits en perspective par rapport à une droite (ou homologiques) si les points d’intersection des côtés correspondants, $P = (BC) \cap (B’C’)$, $Q = (AC) \cap (A’C’)$ et $R = (AB) \cap (A’B’)$, sont alignés sur une même droite $(d)$, appelée axe de perspective.

Le théorème affirme que ces deux propriétés sont équivalentes.

Deux triangles sont en perspective par rapport à un point si et seulement si ils sont en perspective par rapport à une droite.

La démonstration la plus surprenante et la plus élégante consiste à « sortir » du plan.

Plonger le problème dans l’espace : On suppose que les triangles $ABC$ et $A’B’C’$ sont dans un plan $\mathcal{P}$ et que les droites $(AA’)$, $(BB’)$, $(CC’)$ se coupent en un point $O$. On imagine que ce point $O$ est en dehors du plan $\mathcal{P}$.
Définir des plans : Les points $O, A, B$ définissent un plan. Comme $A’$ est sur $(OA)$ et $B’$ sur $(OB)$, les points $A’, B’$ sont aussi dans ce plan. Donc les quatre points $O, A, B, A’, B’$ sont coplanaires. La droite $(AB)$ et la droite $(A’B’)$ sont dans ce même plan.
De même, les droites $(BC)$ et $(B’C’)$ sont dans un plan, et les droites $(AC)$ et $(A’C’)$ sont dans un troisième plan.
Intersection des plans : Le point $R$, intersection de $(AB)$ et $(A’B’)$, appartient à la fois au plan $(OAB)$ et au plan $\mathcal{P}$. Il est donc sur la droite d’intersection de ces deux plans.
De même, le point $P$ est sur l’intersection du plan $(OBC)$ et de $\mathcal{P}$, et le point $Q$ est sur l’intersection du plan $(OAC)$ et de $\mathcal{P}$.
Conclusion : Les trois points $P, Q, R$ appartiennent tous à l’intersection des trois plans $(OAB)$, $(OBC)$, $(OAC)$ avec le plan $\mathcal{P}$. Or, trois plans distincts se coupent en un point ou en une droite. Comme les points sont distincts, ils doivent se trouver sur une même droite : la droite d’intersection des plans. Ils sont donc alignés.

Fondement de la géométrie projective : Ce théorème est l’un des axiomes de base de la géométrie projective. Il ne peut pas être prouvé en utilisant uniquement les axiomes de la géométrie euclidienne plane sans faire appel à la troisième dimension.
Lien entre géométrie et algèbre : Le théorème de Desargues est la condition géométrique qui permet de « coordonner » un plan projectif, c’est-à-dire d’y construire un corps (non nécessairement commutatif).
Perspective artistique : Il formalise les lois de la perspective utilisées par les artistes de la Renaissance pour représenter des objets tridimensionnels sur une surface plane.