Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur $[a, b]$. Si $g$ est positive sur $[a, b]$ et si $f$ est bornée, c’est-à-dire $m \le f(x) \le M$ pour tout $x \in [a,b]$, alors : $$ m \int_a^b g(x)dx \le \int_a^b f(x)g(x)dx \le M \int_a^b g(x)dx $$
Démonstration
Puisque $g(x) \ge 0$, on peut multiplier l’encadrement $m \le f(x) \le M$ par $g(x)$ pour obtenir $m g(x) \le f(x)g(x) \le M g(x)$. Par croissance de l’intégrale, on obtient directement le résultat.
Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ et $g$ une fonction intégrable de signe constant sur $[a, b]$. Alors, il existe un réel $c \in [a, b]$ tel que : $$ \int_a^b f(x)g(x)dx = f(c) \int_a^b g(x)dx $$
Démonstration
Puisque $f$ est continue sur un segment, elle est bornée et atteint ses bornes. Soit $m = \min(f)$ et $M = \max(f)$.
D’après l’inégalité de la moyenne, on a $m \int_a^b g(x)dx \le \int_a^b f(x)g(x)dx \le M \int_a^b g(x)dx$. Si $\int_a^b g(x)dx = 0$, l’égalité est triviale. Sinon, on peut diviser par cette quantité (qui est positive) pour obtenir : $$ m \le \frac{\int_a^b f(x)g(x)dx}{\int_a^b g(x)dx} \le M $$ Le nombre $k = \frac{\int f g}{\int g}$ est donc une valeur comprise entre le minimum et le maximum de la fonction continue $f$. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$. En remplaçant $k$ par son expression, on obtient le résultat.
Dans le cas particulier où $g(x)=1$, le corollaire du théorème précédent nous dit qu’il existe $c \in [a,b]$ tel que $\int_a^b f(x)dx = f(c)(b-a)$. Le nombre réel $\mu_f$ défini par : $$ \mu_f = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx $$ est appelé la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a,b]$. Le théorème garantit que cette valeur moyenne est bien une valeur atteinte par la fonction.