La question centrale est : « Quels domaines du plan complexe sont ‘géométriquement équivalents’ ? » En analyse complexe, l’équivalence géométrique est capturée par la notion d’application conforme (ou biholomorphisme).
- Une application $f: D_1 \to D_2$ est biholomorphe si elle est holomorphe, bijective, et si sa réciproque $f^{-1}$ est aussi holomorphe. Géométriquement, cela signifie que $f$ préserve les angles et peut être vue comme une « déformation sans déchirement » de $D_1$ sur $D_2$.
- Un domaine est simplement connexe s’il n’a pas de « trous ». Le disque unité est simplement connexe, mais une couronne (un disque auquel on a enlevé un plus petit disque au centre) ne l’est pas.
Le théorème de Riemann affirme que, de manière stupéfiante, presque tous les domaines simplement connexes sont conformement équivalents au domaine le plus simple de tous : le disque unité ouvert $\mathbb{D} = \{z \in \mathbb{C} \,|\, |z| < 1\}$.
Soit $D$ un domaine (ouvert connexe) simplement connexe du plan complexe.
Si $D$ n’est pas le plan complexe $\mathbb{C}$ tout entier, alors il existe une application biholomorphe $f : D \to \mathbb{D}$.
Cette application est de plus quasi-unique : si on fixe un point $z_0 \in D$ et qu’on impose $f(z_0) = 0$ et $f'(z_0) > 0$ (réel positif), alors l’application $f$ est unique.
Portée et Démonstration
La démonstration de ce théorème est l’un des sommets de l’analyse du XIXe siècle et est bien au-delà du niveau standard. Elle est célèbre pour être non constructive : elle prouve l’existence de la fonction $f$ sans donner une formule explicite pour la trouver dans le cas général.
Les ingrédients clés de la preuve moderne incluent :
- Familles Normales : On considère la famille $\mathcal{F}$ de toutes les fonctions holomorphes injectives de $D$ dans le disque unité $\mathbb{D}$.
- Théorème de Montel : On montre que cette famille est « normale », ce qui signifie que de toute suite de fonctions de $\mathcal{F}$, on peut extraire une sous-suite qui converge uniformément sur tout compact.
- Argument de Maximisation : On cherche dans cette famille une fonction qui maximise le module de la dérivée en un point $z_0$ fixé, $|g'(z_0)|$. L’existence d’une telle fonction « maximale » est garantie par l’argument de normalité.
- On prouve enfin que cette fonction maximale est nécessairement surjective, et donc qu’elle est le biholomorphisme recherché.
Conséquences et Philosophie
- Théorème d’Uniformisation : C’est le premier grand résultat d’uniformisation. Il classe tous les ouverts simplement connexes (sauf $\mathbb{C}$) en une seule catégorie : celle du disque. Il n’y a, d’un point de vue conforme, qu’une seule forme possible pour un tel domaine.
- Résolution de Problèmes : Ce théorème est d’une puissance théorique immense. Il permet de ramener l’étude de problèmes physiques ou mathématiques (équations de Laplace, écoulement des fluides, etc.) sur une géométrie très compliquée $D$ à une étude sur le disque $\mathbb{D}$, où les calculs sont souvent beaucoup plus simples.
- Exclusion de $\mathbb{C}$ : Le plan complexe $\mathbb{C}$ est l’unique exception. S’il existait un biholomorphisme $f: \mathbb{C} \to \mathbb{D}$, ce serait une fonction entière et bornée (car son image est dans $\mathbb{D}$). D’après le théorème de Liouville, $f$ serait constante, ce qui contredit le fait qu’elle soit bijective.