Théorème de Ptolémée: démonstration (preuve)

Théorème de Ptolémée
Contexte : Le Quadrilatère Inscriptible

Le théorème de Ptolémée s’applique à une figure géométrique particulière : le quadrilatère inscriptible (ou cyclique).

  • Un quadrilatère est dit inscriptible si ses quatre sommets se trouvent sur un même cercle, appelé cercle circonscrit.
  • Une propriété caractéristique de ces quadrilatères est que leurs angles opposés sont supplémentaires (la somme de leurs mesures vaut 180°).

Le théorème établit une relation simple entre les longueurs des quatre côtés et des deux diagonales d’un tel quadrilatère.

Théorème de Ptolémée

Pour tout quadrilatère inscriptible, le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés.

Si $ABCD$ est un quadrilatère inscriptible, avec des côtés de longueurs $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ et des diagonales de longueurs $AC$ et $BD$, alors : $$ AC \cdot BD = (AB \cdot CD) + (BC \cdot DA) $$

L’inégalité de Ptolémée généralise ce résultat : pour tout quadrilatère (inscriptible ou non), on a $AC \cdot BD \le (AB \cdot CD) + (BC \cdot DA)$, avec égalité si et seulement si le quadrilatère est inscriptible.

Idée d’une Démonstration (par la géométrie)

Il existe de nombreuses preuves (par inversion, avec les nombres complexes, etc.). Voici l’idée d’une preuve géométrique élégante.

  1. Construction : Dans le quadrilatère $ABCD$, on construit un point $K$ sur la diagonale $AC$ tel que l’angle $\widehat{ABK}$ soit égal à l’angle $\widehat{DBC}$.
  2. Triangles semblables : On montre que cette construction crée des paires de triangles semblables.
    • Le triangle $\triangle ABK$ est semblable au triangle $\triangle DBC$ (car ils ont deux angles égaux : celui que l’on a construit et un angle inscrit interceptant le même arc, $\widehat{BAK} = \widehat{BDC}$).
    • Le triangle $\triangle BCK$ est semblable au triangle $\triangle BDA$.
  3. Rapports de longueurs : De ces similitudes, on tire deux égalités de rapports, qui nous donnent :
    • $AK \cdot BD = AB \cdot DC$
    • $CK \cdot BD = BC \cdot DA$
  4. Conclusion : En additionnant ces deux égalités, on obtient : $$ (AK+CK) \cdot BD = (AB \cdot DC) + (BC \cdot DA) $$ Puisque $AK+CK = AC$, on a bien la relation de Ptolémée.

Applications et Importance Historique

  • Fondement de la trigonométrie antique : Ce théorème était la clé de voûte de l’astronomie grecque. Ptolémée l’a utilisé dans son traité, l’Almageste, pour calculer la première table de trigonométrie précise (une table des cordes, équivalente à une table de sinus).
  • Démonstration des formules d’addition : En appliquant le théorème à un quadrilatère inscriptible dont l’un des côtés est un diamètre, on peut retrouver les formules d’addition pour le sinus et le cosinus : $\sin(a+b)$ et $\cos(a+b)$.
  • Géométrie euclidienne : C’est un outil puissant pour résoudre des problèmes de géométrie impliquant des cercles et des quadrilatères.