Le théorème de Stokes est un résultat fondamental du calcul vectoriel qui relie une intégrale de surface à une intégrale de ligne.
- Le rotationnel (ou courbure) d’un champ de vecteurs, noté $\nabla \times \mathbf{F}$, est un champ de vecteurs qui mesure la tendance d’un champ à « tourner » autour d’un point.
- L’intégrale de ligne calcule l’accumulation d’un champ le long d’une courbe. L’intégrale de surface fait de même sur une surface.
L’intégrale de surface du rotationnel d’un champ de vecteurs $\mathbf{F}$ sur une surface orientée $S$ est égale à la circulation de ce même champ le long de la frontière fermée $\partial S$ de cette surface.
$$ \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $$
où $S$ est une surface orientée, $\partial S$ est sa frontière, $\mathbf{F}$ est un champ de vecteurs de classe $C^1$, $d\mathbf{S}$ est l’élément de surface orienté par la normale, et $d\mathbf{r}$ est l’élément de longueur sur le chemin.
Idée Intuitive et Applications
En termes simples, le théorème de Stokes nous dit que la somme de tous les « tourbillons » infinitésimaux à l’intérieur d’une surface est exactement égale au « tourbillon » total mesuré sur son bord. Il permet de transformer un problème d’intégrale de surface en un problème d’intégrale de ligne, ce qui est souvent plus simple à calculer.
Ce théorème est une généralisation du théorème fondamental du calcul, tout comme le théorème de Green (en 2D) et le théorème de la divergence (ou de Gauss). Il est utilisé de manière cruciale dans de nombreux domaines de la physique et de l’ingénierie, notamment en électromagnétisme pour la formulation différentielle des équations de Maxwell.