Théorème de Thalès : démonstration (preuve)

Théorème de Thalès
Contexte : Configurations Géométriques

Le théorème de Thalès s’applique à deux configurations géométriques principales :

  1. Configuration en triangle : Deux droites sécantes en un point $A$, et deux droites parallèles qui coupent les deux premières droites en des points $B, C$ et $B’, C’$ respectivement, formant deux triangles $ABC$ et $AB’C’$.
  2. Configuration en papillon : Deux droites sécantes en un point $A$, et deux droites parallèles qui coupent les deux premières de part et d’autre de $A$.
Théorème de Thalès

Soient deux droites $(d)$ et $(d’)$ sécantes en un point $A$. Soient $B$ et $B’$ deux points de $(d)$, distincts de $A$. Soient $C$ et $C’$ deux points de $(d’)$, distincts de $A$.

Si les droites $(BC)$ et $(B’C’)$ sont parallèles, alors les rapports des longueurs des segments sont égaux : $$ \frac{AB}{AB’} = \frac{AC}{AC’} = \frac{BC}{B’C’} $$

Démonstration (par les aires)

Cette démonstration est l’une des plus classiques et visuelles.

  1. Rapport des aires : Considérons les triangles $ACC’$ et $BCC’$. Ils ont la même hauteur issue de $C$. Le rapport de leurs aires est donc égal au rapport de leurs bases : $\frac{\text{Aire}(ACC’)}{\text{Aire}(BCC’)} = \frac{AC}{BC}$. De même, les triangles $ABB’$ et $CBB’$ ont la même hauteur issue de $B’$, donc $\frac{\text{Aire}(ABB’)}{\text{Aire}(CBB’)} = \frac{AB}{CB}$.
  2. Égalité des aires : Les triangles $BCC’$ et $BCB’$ ont la même base $[BC]$ et leurs sommets $C’$ et $B’$ sont sur une droite parallèle à la base. Ils ont donc la même aire.
  3. Conclusion sur les rapports : En combinant les points précédents, on montre que $\frac{AC}{BC} = \frac{AB}{CB}$, ce qui donne une partie de l’égalité.
  4. Projection : Une autre approche, plus moderne, utilise la projection. La projection du point $C$ sur la droite $(AB)$ parallèlement à la droite $(BC)$ est le point $B$. On montre que cette projection est une application affine qui conserve les rapports de mesure, ce qui mène directement au théorème.
Réciproque du Théorème de Thalès

Soient deux droites $(d)$ et $(d’)$ sécantes en un point $A$. Soient $B, B’$ des points de $(d)$ et $C, C’$ des points de $(d’)$, tous distincts de $A$.

Si les points $A, B, B’$ et les points $A, C, C’$ sont alignés dans le même ordre, et si de plus on a l’égalité des rapports : $$ \frac{AB}{AB’} = \frac{AC}{AC’} $$ Alors, les droites $(BC)$ et $(B’C’)$ sont parallèles.

Remarque

La condition sur l’ordre des points est cruciale pour la réciproque. Sans cette condition, on pourrait avoir une configuration où les rapports sont égaux mais les droites ne sont pas parallèles.