Le théorème de prolongement de Tietze, souvent appelé simplement théorème de Tietze-Urysohn, est un résultat fondamental en topologie générale. Il répond à une question simple mais puissante : est-il possible d’étendre une fonction continue définie sur une partie d’un espace topologique à l’espace entier, tout en conservant la continuité ?
- Une fonction continue est une fonction qui préserve la structure topologique, c’est-à-dire qui envoie des points « proches » vers des images « proches ».
- Le théorème s’applique aux espaces topologiques dits normaux. Ces espaces sont ceux où deux ensembles fermés disjoints peuvent être séparés par des voisinages ouverts disjoints.
Soit $X$ un espace topologique normal et $A$ un sous-ensemble fermé de $X$. Si $f: A \to \mathbb{R}$ est une fonction continue, alors il existe une fonction continue $F: X \to \mathbb{R}$ telle que $F|_A = f$.
De plus, si la fonction $f$ est bornée, c’est-à-dire si son image $f(A)$ est un sous-ensemble borné de $\mathbb{R}$, alors on peut choisir la fonction $F$ de sorte qu’elle soit également bornée et que l’on ait :
$$ \sup_{x \in X} |F(x)| = \sup_{y \in A} |f(y)| $$
Démonstration (pour le cas borné)
La preuve se base sur une construction itérative à l’aide du lemme d’Urysohn. Nous allons prouver le cas où la fonction est bornée, ce qui est suffisant car le cas général s’en déduit.
Étape 1 : Simplification
On peut supposer que la fonction $f$ est bornée par 1, c’est-à-dire que $|f(x)| \le 1$ pour tout $x \in A$. Si ce n’est pas le cas, on peut normaliser la fonction $f$ en la divisant par sa borne supérieure. On va chercher à construire une fonction de prolongement $F$ telle que $|F(x)| \le 1$ pour tout $x \in X$.
Étape 2 : Construction de la fonction $f_1$
On définit deux sous-ensembles fermés de $A$ : $$ A_1 = \{x \in A \mid f(x) \le -1/3\} $$ $$ B_1 = \{x \in A \mid f(x) \ge 1/3\} $$ Puisque $A_1$ et $B_1$ sont deux sous-ensembles fermés disjoints de l’espace normal $X$, le lemme d’Urysohn garantit l’existence d’une fonction continue $f_1: X \to [-1/3, 1/3]$ telle que : $$ f_1(x) = -1/3 \text{ pour tout } x \in A_1 $$ $$ f_1(x) = 1/3 \text{ pour tout } x \in B_1 $$
On peut vérifier que pour tout $x \in A$, on a $|f(x) – f_1(x)| \le 2/3$.
Étape 3 : Construction itérative
On répète le processus. On pose $f^{(1)} = f – f_1$. On sait que $|f^{(1)}(x)| \le 2/3$ pour tout $x \in A$. On peut alors définir des ensembles $A_2$ et $B_2$ sur la base de $f^{(1)}$ et construire une nouvelle fonction $f_2: X \to [-2/9, 2/9]$ telle que $|f^{(1)}(x) – f_2(x)| \le 4/9$ sur $A$.
En général, on construit une suite de fonctions continues $f_n: X \to \mathbb{R}$ telles que pour tout $x \in A$, on a : $$ |f(x) – (f_1(x) + f_2(x) + \dots + f_n(x))| \le (2/3)^n $$
Cette construction est possible en utilisant le lemme d’Urysohn à chaque étape.
Étape 4 : Convergence
On définit la fonction $F$ comme la somme de la série de fonctions $(f_n)$: $$ F(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n(x) $$
La série $\sum f_n(x)$ est normalement convergente sur $X$ car $|f_n(x)| \le (2/3)^{n-1}(1/3)$ pour tout $x \in X$. Par conséquent, $F$ est une fonction continue.
Étape 5 : Conclusion
On peut montrer que la restriction de $F$ à $A$ est bien égale à $f$. En effet, pour tout $x \in A$, la série converge vers $f(x)$ : $$ |f(x) – F(x)| = \lim_{n \to \infty} |f(x) – \sum_{i=1}^n f_i(x)| \le \lim_{n \to \infty} (2/3)^n = 0 $$ La fonction $F$ est donc un prolongement continu de $f$ sur tout l’espace $X$.