Ce théorème répond à une question fondamentale en topologie : la compacité est-elle préservée par le produit ?
- La compacité est une généralisation de la notion d’être « fermé et borné » dans $\mathbb{R}^n$. C’est une propriété topologique extrêmement forte et désirable, qui garantit par exemple que toute suite admet une sous-suite convergente, ou que toute fonction continue atteint ses bornes.
- Le produit d’espaces topologiques $X = \prod_{i \in I} X_i$ est une manière de construire un grand espace à partir d’une collection (potentiellement infinie) d’espaces plus petits. Un point dans $X$ est une « suite généralisée » $(x_i)_{i \in I}$ où chaque $x_i$ appartient à $X_i$.
Pour un produit fini d’espaces compacts, il est relativement simple de montrer que le résultat est compact. La question redoutable, résolue par Tychonoff, est de savoir si cela reste vrai pour un produit infini.
Un produit quelconque (fini ou infini) d’espaces topologiques compacts est compact pour la topologie produit.
Axiome du Choix et Démonstration
Ce théorème est l’un des résultats les plus importants de la théorie des ensembles et de la topologie qui ne peut être prouvé sans l’Axiome du Choix. En fait, le théorème de Tychonoff est équivalent à l’Axiome du Choix.
La démonstration est très abstraite et non constructive. L’une des approches modernes utilise la caractérisation de la compacité en termes de « recouvrements ouverts » et le Lemme de Zorn (une forme de l’Axiome du Choix) :
- On caractérise la compacité par la « propriété de l’intersection finie » : un espace est compact si toute famille de fermés dont toute sous-famille finie a une intersection non vide a elle-même une intersection non vide.
- On considère une famille de fermés dans l’espace produit dont toute intersection finie est non vide.
- Grâce au Lemme de Zorn, on montre que l’on peut « étendre » cette famille en un objet maximal appelé un ultrafiltre.
- On utilise ensuite la compacité de chaque espace facteur pour construire un point dans l’espace produit qui appartient à tous les fermés de l’ultrafiltre, et donc à tous les fermés de la famille de départ.
Importance Fondamentale
- Pierre angulaire de la topologie générale : C’est l’un des théorèmes les plus importants et les plus utilisés de la discipline.
- Analyse Fonctionnelle : Son application la plus célèbre est la démonstration du théorème de Banach-Alaoglu. Ce dernier affirme que la boule unité fermée du dual d’un espace vectoriel normé est compacte pour la topologie faible-*, ce qui est un résultat essentiel pour l’étude des opérateurs et des distributions.
- Construction d’objets mathématiques : Il est utilisé pour prouver l’existence d’objets mathématiques complexes, comme l’espace des mesures de probabilité sur un espace compact (qui est lui-même compact), ou la construction du compactifié de Stone-Čech.