Théorème des accroissements finis : démonstration (preuve)

Interprétation Géométrique

Le terme $\frac{f(b) – f(a)}{b – a}$ représente la pente de la droite (la corde) passant par les points $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ de la courbe de la fonction. Le terme $f'(c)$ représente la pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse $c$.

Le théorème affirme donc qu’il existe au moins un point sur la courbe, entre $a$ et $b$, où la tangente est parallèle à la corde joignant les extrémités de l’arc de courbe.

Démonstration Détaillée

La démonstration est une application astucieuse du théorème de Rolle. L’idée est de construire une fonction auxiliaire qui satisfait les hypothèses du théorème de Rolle.

1. Construction de la fonction auxiliaire : On cherche à « redresser » la courbe pour que ses extrémités soient à la même hauteur. Pour cela, on soustrait à $f(x)$ l’équation de la droite passant par $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$. Soit $g(x)$ cette nouvelle fonction : $$ g(x) = f(x) – \left( f(a) + \frac{f(b) – f(a)}{b – a}(x – a) \right) $$
2. Vérification des hypothèses de Rolle pour g :
   • $g$ est continue sur $[a,b]$ car c’est la somme de $f$ (continue) et d’une fonction affine (continue).
   • $g$ est dérivable sur $]a,b[$ pour la même raison.
   • On vérifie que $g(a)=g(b)$ :
     • $g(a) = f(a) – \left( f(a) + \frac{f(b) – f(a)}{b – a}(a – a) \right) = f(a) – f(a) = 0$.
     • $g(b) = f(b) – \left( f(a) + \frac{f(b) – f(a)}{b – a}(b – a) \right) = f(b) – (f(a) + f(b) – f(a)) = 0$.
3. Application du théorème de Rolle : Puisque $g$ satisfait les trois conditions du théorème de Rolle, il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $g'(c)=0$.
4. Conclusion : On calcule la dérivée de $g$ : $$ g'(x) = f'(x) – \frac{f(b) – f(a)}{b – a} $$ La condition $g'(c)=0$ implique donc : $$ f'(c) – \frac{f(b) – f(a)}{b – a} = 0 \implies f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a} $$ Ce qui est équivalent à $f(b) – f(a) = f'(c)(b-a)$ et achève la démonstration.