Une fonction $f$ est dite continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en chaque point de cet intervalle. Intuitivement, cela signifie que l’on peut tracer sa courbe représentative « sans lever le crayon ». Le théorème des valeurs intermédiaires est une formalisation de cette idée.
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. Pour tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ dans l’intervalle $[a, b]$ tel que $f(c) = \lambda$.
Autrement dit, une fonction continue sur un segment prend au moins une fois toutes les valeurs comprises entre les valeurs qu’elle prend aux extrémités de ce segment.
Démonstration Détaillée
La démonstration classique repose sur la propriété de la borne supérieure de $\mathbb{R}$.
- Mise en place : Sans perte de généralité, supposons que $f(a) \le f(b)$ et soit $\lambda$ un réel tel que $f(a) \le \lambda \le f(b)$. Si $\lambda=f(a)$ ou $\lambda=f(b)$, le théorème est trivialement vrai (on peut prendre $c=a$ ou $c=b$). On peut donc supposer $f(a) < \lambda < f(b)$.
- Construction d’un ensemble : Considérons l’ensemble $A$ de tous les points de $[a,b]$ dont l’image par $f$ est inférieure ou égale à $\lambda$ : $$ A = \{ x \in [a,b] \mid f(x) \le \lambda \} $$
- Existence d’une borne supérieure : L’ensemble $A$ n’est pas vide (car $a \in A$ puisque $f(a) \le \lambda$) et il est majoré (par $b$). D’après l’axiome de la borne supérieure, $A$ admet une borne supérieure, que nous noterons $c$. On a $a \le c \le b$.
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Analyse de $f(c)$ : Nous allons montrer que $f(c) = \lambda$ en prouvant que $f(c) \le \lambda$ et $f(c) \ge \lambda$.
- Montrons que $f(c) \le \lambda$ : Par caractérisation de la borne supérieure, il existe une suite $(x_n)$ d’éléments de $A$ qui converge vers $c$. Pour chaque $n$, on a $x_n \in A$, donc $f(x_n) \le \lambda$. Puisque $f$ est continue en $c$, on a $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(c)$. En passant à la limite dans l’inégalité, on obtient $f(c) \le \lambda$.
- Montrons que $f(c) \ge \lambda$ : Pour tout $x > c$ (dans $[a,b]$), $x$ n’est pas dans $A$, donc $f(x) > \lambda$. Considérons une suite $(y_n)$ de points de $]c,b]$ qui converge vers $c$. Pour chaque $n$, on a $f(y_n) > \lambda$. Par continuité de $f$ en $c$, on a $\lim_{n \to \infty} f(y_n) = f(c)$. En passant à la limite dans l’inégalité, on obtient $f(c) \ge \lambda$.
- Conclusion : Ayant montré $f(c) \le \lambda$ et $f(c) \ge \lambda$, on conclut que $f(c) = \lambda$. L’existence d’un tel $c$ est donc prouvée.
- Image d’un intervalle : L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
- Théorème de Bolzano (cas particulier) : Si une fonction $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés ($f(a)f(b) < 0$), alors il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f(c)=0$. C'est le cas particulier où $\lambda=0$.