Contexte : Développer $(a+b)^n$
Le théorème du binôme de Newton fournit une formule générale pour développer l’expression $(a+b)^n$ pour n’importe quel entier $n \ge 0$.
- Pour $n=2$, on connaît l’identité remarquable : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
- Pour $n=3$, on peut calculer : $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
- On remarque que les coefficients qui apparaissent (1, 2, 1 et 1, 3, 3, 1) sont ceux du triangle de Pascal. Le théorème du binôme formalise ce lien.
Théorème du binôme de Newton
Soient $a$ et $b$ des nombres réels ou complexes (ou plus généralement, des éléments d’un anneau commutatif) et soit $n$ un entier naturel. Alors : $$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$
où $\binom{n}{k}$ est le coefficient binomial « k parmi n », défini par : $$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$
Démonstration (par récurrence)
La preuve la plus classique se fait par récurrence sur l’entier $n$.
- Initialisation (n=0) : $(a+b)^0 = 1$. La formule donne $\binom{0}{0}a^0b^0 = 1$. La propriété est vraie.
- Hérédité : On suppose que la formule est vraie pour un certain rang $n \ge 0$ (hypothèse de récurrence). On veut la prouver pour le rang $n+1$. $$ (a+b)^{n+1} = (a+b) \cdot (a+b)^n = (a+b) \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$
- On distribue : $$ (a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k+1} b^k + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k+1} $$
- On effectue un changement d’indice dans la deuxième somme ($j=k+1$) pour pouvoir regrouper les termes de même puissance : $$ (a+b)^{n+1} = a^{n+1} + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} a^{n-k+1} b^k + \sum_{j=1}^n \binom{n}{j-1} a^{n-(j-1)} b^j + b^{n+1} $$
- En regroupant les sommes (on peut renommer $j$ en $k$) et en utilisant la formule du triangle de Pascal : $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$, on obtient : $$ (a+b)^{n+1} = a^{n+1} + \sum_{k=1}^n \left[ \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} \right] a^{n+1-k} b^k + b^{n+1} $$ $$ (a+b)^{n+1} = \binom{n+1}{0}a^{n+1}b^0 + \sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k} a^{n+1-k} b^k + \binom{n+1}{n+1}a^0b^{n+1} $$
- Conclusion : Cette dernière ligne est exactement la formule du binôme au rang $n+1$. La propriété est donc héréditaire et vraie pour tout $n \ge 0$.
Applications Fondamentales
- Algèbre : C’est un outil de base pour développer des expressions polynomiales.
- Probabilités et Statistiques : Le théorème est le fondement de la loi binomiale, qui modélise le nombre de succès dans une série d’expériences indépendantes.
- Analyse : La formule du binôme généralisée (pour des exposants non entiers) est utilisée pour définir des séries entières de fonctions comme $(1+x)^\alpha$.