Pour comprendre ces théorèmes, il faut maîtriser les concepts suivants :
- Homomorphisme de groupes : Une application $f: G \to H$ entre deux groupes qui préserve la structure de groupe, i.e., $f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b)$.
- Noyau (Kernel) : Le noyau d’un homomorphisme $f$, noté $Ker(f)$, est l’ensemble des éléments de $G$ qui sont envoyés sur l’élément neutre de $H$. C’est toujours un sous-groupe normal de $G$.
- Image : L’image d’un homomorphisme $f$, notée $Im(f)$, est l’ensemble des éléments de $H$ qui sont l’image d’au moins un élément de $G$. C’est un sous-groupe de $H$.
- Groupe Quotient : Si $N$ est un sous-groupe normal de $G$, on peut construire le groupe quotient $G/N$, dont les éléments sont les classes à gauche de $N$ dans $G$.
Soit $f: G \to H$ un homomorphisme de groupes. Alors, l’image de $f$ est isomorphe au groupe quotient de $G$ par le noyau de $f$. $$ G / Ker(f) \cong Im(f) $$
Intuitivement, ce théorème dit que si l’on « écrase » (quotiente) le groupe de départ par tous les éléments qui sont envoyés sur l’élément neutre, on obtient une structure qui est exactement la même que celle de l’image de l’application.
Démonstration
On construit explicitement un isomorphisme $\phi: G/Ker(f) \to Im(f)$. Soit $K = Ker(f)$.
- Définition de l’application : On définit $\phi$ par $\phi(gK) = f(g)$ pour toute classe $gK \in G/K$.
- L’application est bien définie : On doit vérifier que le résultat ne dépend pas du représentant choisi pour la classe. Si $g_1 K = g_2 K$, alors $g_1^{-1}g_2 \in K$. Par définition du noyau, $f(g_1^{-1}g_2) = e_H$. Comme $f$ est un homomorphisme, $f(g_1)^{-1}f(g_2) = e_H$, ce qui implique $f(g_1)=f(g_2)$. L’application est donc bien définie.
- $\phi$ est un homomorphisme : $\phi((g_1 K)(g_2 K)) = \phi(g_1 g_2 K) = f(g_1 g_2) = f(g_1)f(g_2) = \phi(g_1 K)\phi(g_2 K)$.
- $\phi$ est surjective : Par définition de l’image $Im(f)$, pour tout $y \in Im(f)$, il existe $g \in G$ tel que $f(g)=y$. Alors $\phi(gK)=y$.
- $\phi$ est injective : Si $\phi(gK) = e_H$, alors $f(g)=e_H$. Cela signifie que $g \in Ker(f) = K$. La classe $gK$ est donc la classe neutre $e_G K$. Le noyau de $\phi$ est trivial, donc $\phi$ est injective.
Puisque $\phi$ est un homomorphisme bijectif, c’est un isomorphisme.
Soient $G$ un groupe, $S$ un sous-groupe de $G$, et $N$ un sous-groupe normal de $G$. Alors le produit $SN = \{sn \mid s \in S, n \in N\}$ est un sous-groupe de $G$, l’intersection $S \cap N$ est un sous-groupe normal de $S$, et on a l’isomorphisme : $$ S / (S \cap N) \cong SN / N $$
Soient $G$ un groupe, et $N$ et $K$ deux sous-groupes normaux de $G$ tels que $N \subseteq K$. Alors $K/N$ est un sous-groupe normal de $G/N$, et on a l’isomorphisme : $$ (G/N) / (K/N) \cong G/K $$
Intuitivement, ce théorème dit que si l’on quotiente un groupe $G$ par un « petit » sous-groupe normal $N$, puis qu’on quotiente le résultat par l’image d’un « plus grand » sous-groupe normal $K$, c’est la même chose que de quotienter directement $G$ par $K$.