Soient $E$ et $F$ deux K-espaces vectoriels et $f: E \to F$ une application linéaire. On appelle application transposée de $f$, notée ${}^t f$, l’application linéaire de $F^*$ dans $E^*$ définie par : $$ \forall \varphi \in F^*, \quad {}^t f(\varphi) = \varphi \circ f $$
Remarque
L’application transposée ${}^t f$ est l’unique application linéaire qui vérifie la relation fondamentale de dualité suivante : $$ \forall x \in E, \forall \varphi \in F^*, \quad \langle x, {}^t f(\varphi) \rangle = \langle f(x), \varphi \rangle $$
Soient $E, F, G$ des K-espaces vectoriels. L’opération de transposition possède les propriétés suivantes :
- $\forall f, g \in L(E,F), \quad {}^t(f+g) = {}^t f + {}^t g$.
- $\forall \lambda \in K, \forall f \in L(E,F), \quad {}^t(\lambda f) = \lambda {}^t f$.
- $\forall f \in L(E,F), \forall g \in L(F,G), \quad {}^t(g \circ f) = {}^t f \circ {}^t g$.
Soit $f: E \to F$ une application linéaire entre deux K-espaces vectoriels.
- Le noyau de la transposée est l’orthogonal de l’image : $Ker({}^t f) = (Im(f))^\perp$.
- L’image de la transposée est l’orthogonal du noyau : $Im({}^t f) = (Ker(f))^\perp$.
Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$, $\beta$ une base de $E$ et $\beta^*$ sa base duale. Pour tout endomorphisme $u$ de $E$, on a la relation suivante entre les matrices : $$ Mat({}^t u, \beta^*) = {}^t(Mat(u, \beta)) $$ Autrement dit, la matrice de l’application transposée dans la base duale est la transposée de la matrice de l’application initiale dans la base primale.
Soit $u$ un endomorphisme d’un K-espace vectoriel $E$, et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors, $F$ est stable par $u$ si et seulement si son orthogonal $F^\perp$ est stable par l’endomorphisme transposé ${}^t u$. $$ F \text{ est stable par } u \iff F^\perp \text{ est stable par } {}^t u $$
Démonstration
($\implies$) Supposons que $F$ est stable par $u$, c’est-à-dire $u(F) \subseteq F$. Soit $\varphi \in F^\perp$. On veut montrer que ${}^t u(\varphi) \in F^\perp$. Pour cela, il faut vérifier que pour tout $x \in F$, $\langle x, {}^t u(\varphi) \rangle = 0$.
Par définition de la transposée, $\langle x, {}^t u(\varphi) \rangle = \langle u(x), \varphi \rangle$. Comme $F$ est stable par $u$, $u(x) \in F$. Et comme $\varphi \in F^\perp$, elle s’annule sur tous les vecteurs de $F$, donc $\langle u(x), \varphi \rangle = 0$. Ainsi, $F^\perp$ est stable par ${}^t u$.
($\impliedby$) La preuve de la réciproque utilise le bidual et le fait que $F^{\perp\circ} = F$ en dimension finie.