Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $u$ un endomorphisme de $E$. On dit que $u$ est trigonalisable (ou triangularisable) s’il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice représentative de $u$ est une matrice triangulaire supérieure.
Remarque
Si un endomorphisme est représenté par une matrice triangulaire supérieure dans une base $(e_1, \dots, e_n)$, il est également possible de trouver une autre base, par exemple $(e_n, e_{n-1}, \dots, e_1)$, dans laquelle sa matrice sera triangulaire inférieure. Les deux propriétés sont donc équivalentes.
Soit $u$ un endomorphisme d’un K-espace vectoriel $E$ de dimension finie. L’endomorphisme $u$ est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé sur le corps $K$.
Démonstration
($\implies$) Supposons que $u$ est trigonalisable. Il existe une base dans laquelle sa matrice $A$ est triangulaire supérieure. Le polynôme caractéristique $\chi_u(X) = \det(XI – A)$ est alors le déterminant d’une matrice triangulaire. Il est donc égal au produit de ses termes diagonaux : $$ \chi_u(X) = (X – a_{11})(X – a_{22}) \dots (X – a_{nn}) $$ Ce polynôme est bien un produit de facteurs du premier degré à coefficients dans $K$, il est donc scindé sur $K$.
($\impliedby$) Supposons que $\chi_u$ est scindé sur $K$. On procède par récurrence sur la dimension $n$ de $E$.
Initialisation (n=1) : Tout endomorphisme d’un espace de dimension 1 est une homothétie, sa matrice est diagonale (donc triangulaire) dans n’importe quelle base.
Hérédité : Supposons la propriété vraie pour tout espace de dimension $n-1$. Soit $u$ un endomorphisme de $E$ avec $\dim(E)=n$ et $\chi_u$ scindé. Puisque $\chi_u$ est scindé, $u$ admet au moins une valeur propre $\lambda_1 \in K$. Soit $e_1$ un vecteur propre associé. Complétons $e_1$ en une base $(e_1, e’_2, \dots, e’_n)$ de $E$. Dans cette base, la matrice de $u$ a la forme par blocs : $$ A = \begin{pmatrix} \lambda_1 & L \\ 0 & A’ \end{pmatrix} $$ où $A’$ est une matrice carrée d’ordre $n-1$. On a $\chi_u(X) = (X-\lambda_1)\chi_{A’}(X)$. Comme $\chi_u$ est scindé, $\chi_{A’}$ l’est aussi. $A’$ est la matrice d’un endomorphisme $u’$ sur l’espace quotient $E/Vect(e_1)$, qui est de dimension $n-1$. Par hypothèse de récurrence, $u’$ est trigonalisable. Il existe donc une base $(\bar{e}_2, \dots, \bar{e}_n)$ de $E/Vect(e_1)$ dans laquelle la matrice de $u’$ est triangulaire supérieure. En relevant cette base en une famille $(e_2, \dots, e_n)$ de $E$, on montre que la famille $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ est une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure.
Remarque
- Tout endomorphisme diagonalisable est trigonalisable.
- Sur un corps algébriquement clos comme $\mathbb{C}$, tout polynôme est scindé. Par conséquent, tout endomorphisme d’un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie est trigonalisable.
- Si $u$ est trigonalisable, les éléments diagonaux de sa matrice triangulaire sont précisément les valeurs propres de $u$, répétées avec leur multiplicité algébrique.
- Une conséquence directe est que la trace et le déterminant d’un endomorphisme trigonalisable sont respectivement la somme et le produit de ses valeurs propres (comptées avec leur multiplicité).
Soit $u$ un endomorphisme d’un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) de dimension $n$. Si $\chi_u(X) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_0$, alors :
- $tr(u) = -a_{n-1}$
- $\det(u) = (-1)^n a_0$
Démonstration
Si $\mathbb{K}=\mathbb{C}$, le polynôme caractéristique est scindé. Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ les valeurs propres (non nécessairement distinctes). On a $\chi_u(X) = \prod_{i=1}^n (X-\lambda_i)$. En développant ce produit, le coefficient de $X^{n-1}$ est $-\sum \lambda_i = -tr(u)$, et le terme constant est $\prod (-\lambda_i) = (-1)^n \prod \lambda_i = (-1)^n \det(u)$. Par identification des coefficients, on obtient les formules.
Si $\mathbb{K}=\mathbb{R}$, on peut considérer la matrice réelle de $u$ comme une matrice complexe. Son polynôme caractéristique est le même, et ses trace et déterminant sont les mêmes. Le résultat obtenu sur $\mathbb{C}$ s’applique donc également.