Trouver la Matrice d’une Symétrie Orthogonale
Une symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace $F$ est une transformation qui « reflète » chaque vecteur à travers $F$. Un vecteur dans $F$ reste inchangé, tandis qu’un vecteur dans l’orthogonal de $F$ est envoyé sur son opposé. La matrice de cette transformation, notée $S_F$, est directement liée à la matrice de projection orthogonale $P_F$.
La symétrie $s_F$ par rapport à $F$ peut s’exprimer de plusieurs manières. Si on décompose un vecteur $v$ en $v = p_F(v) + p_{F^\perp}(v)$, la symétrie garde la partie dans $F$ et inverse la partie dans $F^\perp$, donc $s_F(v) = p_F(v) – p_{F^\perp}(v)$. De cette relation, on déduit les formules pour la matrice $S_F$:
- Formule 1 (avec la projection sur F) :
$S_F = 2P_F – I$
où $P_F$ est la matrice de projection sur $F$ et $I$ est la matrice identité. - Formule 2 (avec la projection sur l’orthogonal) :
$S_F = I – 2P_{F^\perp}$
où $P_{F^\perp}$ est la matrice de projection sur le supplémentaire orthogonal $F^\perp$. Cette formule est souvent plus rapide si $F^\perp$ est de plus petite dimension que $F$.
Exemple 1 : Symétrie par rapport à une droite dans $\mathbb{R}^3$
Trouvons la matrice de la symétrie par rapport à la droite $F = \text{Vect}(u)$ avec $u=(1,2,2)$.
1. Calculer la matrice de projection $P_F$ :
Nous avons vu dans un article précédent que $P_F = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 4 \end{pmatrix}$.
2. Appliquer la formule $S_F = 2P_F – I$ :
$S_F = 2 \cdot \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 4 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$S_F = \frac{1}{9} \left( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 4 \\ 4 & 8 & 8 \\ 4 & 8 & 8 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} -7 & 4 & 4 \\ 4 & -1 & 8 \\ 4 & 8 & -1 \end{pmatrix}$.
Exemple 2 : Symétrie par rapport à un plan (Réflexion)
Trouvons la matrice de la symétrie (ou réflexion) par rapport au plan $F$ d’équation $x+y+z=0$ dans $\mathbb{R}^3$.
L’orthogonal $F^\perp$ est la droite dirigée par $n=(1,1,1)$. Il est plus simple d’utiliser la Formule 2.
1. Calculer la matrice de projection $P_{F^\perp}$ :
Nous avons déjà vu que $P_{F^\perp} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.
2. Appliquer la formule $S_F = I – 2P_{F^\perp}$ :
$S_F = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} – \frac{2}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \left( \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$.
Exemple 3 : Symétrie par rapport à un axe de la base canonique
Trouvons la matrice de la symétrie par rapport à l’axe $F=\text{Vect}(e_1)$ dans $\mathbb{R}^3$, avec $e_1=(1,0,0)$.
1. Matrice de projection sur F :
Le vecteur $e_1$ est déjà normalisé. $P_F = e_1 e_1^T = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
2. Calcul de la matrice de symétrie :
$S_F = 2P_F – I = 2\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$.
Ce résultat est intuitif : la symétrie par rapport à l’axe des $x$ conserve la coordonnée $x$ et inverse les coordonnées $y$ et $z$.
Une matrice $S$ représente une symétrie orthogonale si et seulement si elle est à la fois :
- Symétrique : $S^T = S$.
- Orthogonale : $S^T S = I$.
Cela implique qu’une telle matrice est sa propre inverse ($S^{-1} = S$, donc $S^2=I$). C’est logique : appliquer deux fois la même symétrie nous ramène au point de départ.