Soit $E$ un K-espace vectoriel et $u$ un endomorphisme de $E$.
- Un scalaire $\lambda \in K$ est appelé une valeur propre de $u$ s’il existe un vecteur non nul $x \in E$ tel que $u(x) = \lambda x$.
- Un tel vecteur $x$ est alors appelé un vecteur propre de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$.
Remarque
Soit $u$ un endomorphisme d’un K-espace vectoriel $E$ et $\lambda \in K$. La condition $u(x) = \lambda x$ est équivalente à $(u – \lambda Id_E)(x) = 0$.
Par conséquent, $\lambda$ est une valeur propre de $u$ si et seulement si le noyau de l’endomorphisme $(u – \lambda Id_E)$ n’est pas réduit au vecteur nul, c’est-à-dire $Ker(u – \lambda Id_E) \neq \{0\}$.
Si de plus $E$ est de dimension finie, cela équivaut à dire que l’endomorphisme $(u – \lambda Id_E)$ n’est pas injectif, et donc non bijectif. Cela se traduit par la condition sur le déterminant : $\det(u – \lambda Id_E) = 0$, ou encore $\det(\lambda Id_E – u) = 0$.
Soit $u$ un endomorphisme d’un K-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Pour un scalaire $\lambda \in K$, les propositions suivantes sont équivalentes :
- $\lambda$ est une valeur propre de $u$.
- $\lambda$ est une racine du polynôme minimal de $u$, $M_u(X)$.
- $\lambda$ est une racine du polynôme caractéristique de $u$, $\chi_u(X)$.
Démonstration
(i $\implies$ ii) Supposons que $\lambda$ est une valeur propre. Il existe donc un vecteur non nul $x$ tel que $u(x) = \lambda x$. Par une récurrence immédiate, on a $u^k(x) = \lambda^k x$ pour tout entier $k \ge 0$. Soit $M_u(X) = \sum a_k X^k$ le polynôme minimal. En l’appliquant à $x$, on obtient : $$ M_u(u)(x) = \left(\sum a_k u^k\right)(x) = \sum a_k u^k(x) = \sum a_k \lambda^k x = \left(\sum a_k \lambda^k\right) x = M_u(\lambda) x $$ Comme $M_u$ est le polynôme minimal, $M_u(u)$ est l’endomorphisme nul, donc $M_u(u)(x)=0$. On a donc $M_u(\lambda) x = 0$. Puisque $x$ est un vecteur propre, il est non nul, ce qui impose $M_u(\lambda) = 0$.
(ii $\implies$ iii) Supposons que $\lambda$ est une racine de $M_u$. On sait, d’après le théorème de Cayley-Hamilton, que le polynôme minimal $M_u$ divise le polynôme caractéristique $\chi_u$. Si $M_u(\lambda)=0$, alors nécessairement $\chi_u(\lambda)=0$.
(iii $\implies$ i) Supposons que $\lambda$ est une racine de $\chi_u$. Par définition, $\chi_u(\lambda) = \det(\lambda Id_E – u) = 0$. Un endomorphisme dont le déterminant est nul n’est pas bijectif. Comme nous sommes en dimension finie, il n’est pas injectif. Son noyau, $Ker(\lambda Id_E – u)$, n’est donc pas réduit à $\{0\}$. Il existe au moins un vecteur non nul $x$ tel que $(\lambda Id_E – u)(x) = 0$, ce qui est la définition de $\lambda$ comme valeur propre associée au vecteur propre $x$.
Remarque
Une conséquence majeure de ce théorème est que, pour un endomorphisme en dimension finie, le polynôme minimal et le polynôme caractéristique ont exactement les mêmes racines dans le corps $K$.